Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$$\it{4}\,\it{r}= \text{AJ}$$

pythagoras trigonometric*solution

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1764 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 29-01-2019 - 09:44

Cho tam giác cân $\it{\Delta }\,\text{ABC}$ tại đỉnh $\text{B}$ $\it{.}$ Nếu ta chọn được $\it{:}$ $\text{D}$ trên $\text{AB}$ $\it{,}$ $\text{J}$ trên $\text{DC}$ sao cho $\it{:}$ $\text{AJ}\,\it{\dashv }\,\text{CD}$ và các đường tròn nội tiếp của $\it{\Delta }\,\text{ACJ},\,\it{\Delta }\,\text{ADJ},\,\it{\Delta }\,\text{BCD}$ có cùng bán kính $\it{r}$ : Thì $\it{4}\,\it{r}= \text{AJ}$ $\it{.}$

4 r   =   A J.gif


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#2 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 07-02-2019 - 16:52

Gọi tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác $AJC,AJD,BCD$ là $I_1,I_2,I_3;(I_2)$ tiếp xúc $CD$ tại $G.$

Do $R_{I_1}=R_{I_2} \Rightarrow I_1I_2 \parallel CD \Rightarrow AJ \perp I_1I_2 \Rightarrow (I_1),(I_2),AJ$ đồng quy tại $E \Rightarrow AD=AC.$

Đặt $AE=kr,k \in \mathbb{R^+}.$ Do $\Delta ABC$ cân tại $B \Rightarrow AJ>JC \Rightarrow k>2+ \sqrt{2}.$

Xét $\Delta AJD:r^2= \frac{AE.JG.GD}{AE+JG+GD}= \frac{k.GD.r^2}{r+kr+GD} \Rightarrow GD= \frac{k+1}{k-1}.r.$

Tiến hành tính toán, ta được:

$JD=r+GD= \frac{2k}{k-1}.r;CD=2JD= \frac{4k}{k-1}.r;AD=AE+GD= \frac{k^2+1}{k-1}.r; \sin \widehat{JAD}= \frac{JD}{AD}= \frac{2k}{k^2+1};$

$\cos \widehat{JAD}= \frac{JA}{AD}= \frac{k^2-1}{k^2+1}; \cos \widehat{CAD}= \cos (2 \widehat{JAD})= \cos ^2 \widehat{JAD}- \sin ^2 \widehat{JAD}= \frac{k^4-6k^2+1}{k^4+2k^2+1};$

$BC=AB= \frac{AC/2}{\cos \widehat{CAD}}= \frac{k^2+1}{k-1}. \frac{k^4+2k^2+1}{2k^4-12k^2+2}.r;BD=AB-AD= \frac{k^2+1}{k-1}. \frac{-k^4+14k^2-1}{2k^4-12k^2+2}.$

Đặt $x$ là nửa chu vi $\Delta BCD$ thì $x= \frac{BC+CD+DB}{2}= \frac{4kr(k-1)^2(k^2+4k+1)}{(k-1)(2k^4-12k^2+2)}.$

Lại có $\tan \frac{\widehat{BDC}}{2}= \tan \widehat{GDI_3}= \cot \widehat{GDI_2}= \frac{GD}{r}= \frac{k+1}{k-1};$ do đó xét $\Delta BCD:$

$r=(x-BC) \tan \frac{\widehat{BDC}}{2}= \frac{r[4k(k-1)^2(k^2+4k+1)-(k^2+1)^3]}{(k-1)(2k^4-12k^2+2)}. \frac{k+1}{k-1}$

$\Leftrightarrow 2(k-1)^2(k^4-6k^2+1)=4k(k+1)(k-1)^2(k^2+4k+1)-(k+1)(k^2+1)^3$

$\Leftrightarrow (k+1)(k^2+1)^3=2(k-1)^2(k^4+10k^3+16k^2+2k-1)$

$\Leftrightarrow k^7+k^6+3k^5+3k^4+3k^3+3k^2+k+1=2k^6+16k^5-6k^4-40k^3+22k^2+8k-2$

$\Leftrightarrow k^7-k^6-13k^5+9k^4+43k^3-19k^2-7k+3=0$

$\Leftrightarrow (k-3)(k^6+2k^5-7k^4-12k^3+7k^2+2k-1)=0.$

Do $k>2+ \sqrt{2} \Rightarrow k=3 \Rightarrow AJ=4r.$ Ta có đpcm.


Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh