2. Định thức cấp ba và hệ phương trình tuyến tính.
Định thức cấp ba tướng ứng với các phần tử: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}\end{align*}$ được xác định bởi đẳng thức $\begin{align*}\begin{vmatrix} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{vmatrix}\end{align*}$=$a_1 \begin{align*}\begin{vmatrix} b_2&c_2\\ b_3&c_3 \end{vmatrix}\end{align*}$-$b_1 \begin{align*}\begin{vmatrix} a_2&c_2\\ a_3&c_3 \end{vmatrix}\end{align*}$+$c_1 \begin{align*}\begin{vmatrix} a_2&b_2\\ a_3&b_3 \end{vmatrix}\end{align*}$
Định thức con của phần tử cho trước của định thức cấp ba là định thức cấp hai nhận được từ định thức cấp ba bằng cách bỏ hàng và cột chứa phần tử đã cho. Phần phụ đại số của phần tử cho trước là định thức con của nó nhân với $(-1)^k$, trong đó $k$ là tổng các chỉ số của hàng và cột chứa phần tử đã cho.
Vì vậy dấu viết thêm vào định thức con của phần tử tương ứng của định thức được xác định bằng bảng sau: $\begin{align*}\begin{vmatrix} +&-&+\\ -&+&-\\ +&-&+ \end{vmatrix}\end{align*}$
Trong vế phải của đẳng thức biểu diễn định thức cấp ba nêu ở trên gồm tổng các tích các phần tử ở hàng đầu của định thức với các phần phụ đại số của chúng.
Định lý tổng quát cũng đúng: Định thức cấp ba bằng tổng các tích các phần tử ở một hàng hay một cột bất kỳ của nó với các phần phụ đại số của chúng. Định lý này dùng để tính giá trị của định thức bằng cách khai triển nó theo các phần tử ở một hàng hay một cột bất kỳ của nó.
Ta chú ý rằng định lý sau đây cũng đúng: tổng các tích của các phần tử ở một hàng (cột) nào đó với phần phụ đại số của các phần tử ở một hàng (cột) khác luôn bằng không.
CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC
1. Định thức không đổi nếu các hàng của định thức được thay bằng các cột, còn các cột được thay bởi các hàng tương ứng.
2. Nhân thức chung của các phân tử ở một hàng (hay cột) nào đó có thể đưa ra ngoài dấu định thức.
3. Nếu các phần tử của một hàng (cột) của định thức bằng các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác của định thức đó thì định thức bằng không.
4. Khi đổi chỗ hai hàng (cột) của định thức, thì định thức đổi dấu.
5. Định thức không đổi nếu thêm vào các phần tử của một hàng (cột) các phần tử tương ứng của một hàng (cột) khác nhân với cùng một số (định lý tổ hợp tuyến tính của các hàng (cột) của định thức).
Nghiệm của hệ ba phương trình tuyến tính ba ẩn $\left\{\begin{array}{I} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{array}\right.$ tìm được theo công thức Crame: $x=\frac{D_x}{D},y=\frac{D_y}{D},z=\frac{D_z}{D}(1)$,
trong đó: $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{vmatrix}\end{align*}$, $D_x\begin{align*}\begin{vmatrix} d_1&b_1&c_1\\ d_2&b_2&c_2\\ d_3&b_3&c_3 \end{vmatrix}\end{align*}$, $D_y\begin{align*}\begin{vmatrix} a_1&d_1&c_1\\ a_2&d_2&c_2\\ a_3&d_3&c_3 \end{vmatrix}\end{align*}$,$D_z\begin{align*}\begin{vmatrix} a_1&b_1&d_1\\ a_2&b_2&d_2\\ a_3&b_3&d_3 \end{vmatrix}\end{align*}$
Khi đó cần giả thiết rằng $D\ne 0$, (Nếu $D=0$ thì hệ đã cho hoặc vô định hoặc không tương thích).
Nếu hệ là thuần nhất, nghĩa là có dạng $\left\{\begin{array}{I} a_1x+b_1y+c_1z=0\\a_2x+b_2y+c_2z=0\\a_3x+b_3y+c_3z=0 \end{array}\right.$ và định thức của nó khác không, thì nó có nghiệm duy nhất $x=0,y=0,z=0$.
Nếu định thức của hệ thuần nhất bằng không thì hệ đưa về hai phương trình độc lập (phương trình thứ ba là hệ quả của chúng) hoặc đưa về một phương trình (hai phương trình còn lại là hệ quả của nó). Trường hợp thứ nhất xảy ra khi trong số các định thức con của định thức của hệ thuần nhất có ít nhất một cái khác không , trường hợp thứ hai xảy ra khi mọi định thức con của định thức này đều bằng không.
Trong cả hai trường hợp hệ thuần nhất có vô số nghiệm.
Các ví dụ:
217.Tính định thức cấp ba: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 5&3&2\\ -1&2&4\\ 7&3&6\end{vmatrix}\end{align*}$.
Giải. Khai triển định thức theo các phần tử ở hàng thứ nhất, ta được:
$\begin{align*}\begin{vmatrix} 5&3&2\\ -1&2&4\\ 7&3&6\end{vmatrix}\end{align*}$=$5.\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&4\\3&6 \end{vmatrix}\end{align*}$-$3.\begin{align*}\begin{vmatrix} -1&4\\7&6 \end{vmatrix}\end{align*}$+$2.\begin{align*}\begin{vmatrix} -1&2\\7&3 \end{vmatrix}\end{align*}$= $5.0-3(-34)+2(-17)=68$.
218. Tính định thức trong bài $217$ dựa vào định lý về tổ hợp tuyến tính của các phần tử ở các hàng (cột).
Giải: Thêm vào các phần tử ở hàng đầu các phần tử tương ứng của hàng thứ hai nhân với $5$ và thêm vào các phần tử ở hàng thứ ba các phần tử tương ứng ở hàng thứ hai nhân với $7$:
$\begin{align*}\begin{vmatrix} 5&3&2\\-1&2&4\\7&3&6 \end{vmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{vmatrix} 0&13&22\\-1&2&4\\ 0&17&34 \end{vmatrix}\end{align*}$
Khai triển định thức theo các phần tử ở cột thứ nhất ta được $\begin{align*}\begin{vmatrix} 0&13&22\\-1&2&4\\0&17&34 \end{vmatrix}\end{align*}$=$0.\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&4\\17&34 \end{vmatrix}\end{align*}$+$1.\begin{align*}\begin{vmatrix} 13&22\\17&34 \end{vmatrix}\end{align*}$+$0.\begin{align*}\begin{vmatrix} 13&22\\2&4 \end{vmatrix}\end{align*}$=$13.34-17.22=68$.
219. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{I} x+2y+z=8\\ 3x+2y+z=10\\ 4x+3y-2z=4 \end{array}\right.$
Giải. Theo công thức $(1)$ ta có:
$x=\frac{\begin{align*}\begin{vmatrix} 8&2&1\\ 10&2&1\\ 4&3&-2\end{vmatrix}\end{align*}}{\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&1\\ 3&2&1\\ 4&3&-2\end{vmatrix}\end{align*}}=\frac{14}{14}=1$.
$y=\frac{\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&8&1\\3&10&1\\4&4&-2 \end{vmatrix}\end{align*}}{14}=\frac{28}{14}=2$.
$z=\frac{\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&8\\3&2&10\\4&3&4 \end{vmatrix}\end{align*}}{14}=\frac{42}{14}=3$.
220. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
$\left\{\begin{array}{I} 4x+y+z=0\\ x+3y+z=0\\ x+y2z=0\end{array}\right.$
Giải. Ở đây $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 4&1&1\\1&3&1\\1&1&2 \end{vmatrix}\end{align*}$
Để tính định thức này ta thêm vào các phần tử ở hàng đầu các phần tử của hàng ba nhân với $-4$ và thêm vào các phần tử ở hàng hai các phần tử của hàng ba nhân với $-1$.
$D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 0&-3&-7\\0&2&-1\\1&1&2 \end{vmatrix}\end{align*}=17$
vì $D\ne 0$ nên hệ chỉ có nghiệm không $x=y=z=0$.
221. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{I} 3x+2y-z=0\\ x+2y+9z=0\\ x+y+2z=0\end{array}\right.$
Giải. Ta có:
$D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2&-1\\1&2&9\\1&1&2 \end{vmatrix}\end{align*}=-15+14+1=0$.
Do đó hệ có nghiệm khác không. Ta giải hệ hai phương trình đầu (phương trình thứ ba là hệ quả của hai phương trình đầu):
$\left\{\begin{array}{I} 3x+2y-z=0\\ x+2y+9z=0\end{array}\right.$
Từ đó , ta suy r được: $x=\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&-1\\2&9 \end{vmatrix}\end{align*}.t=20t$, $y=-\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&-1\\1&9 \end{vmatrix}\end{align*}.t=-28t$,$z=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\1&2 \end{vmatrix}\end{align*}.t=14t$.
222. Tính định thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&-1\\3&7&2\\2&3&-7 \end{vmatrix}\end{align*}$ bằng cách khai triển nó theo các phần tử của hàng thứ ba.
223. Tính định thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1\\2&3&4\\4&9&16\end{vmatrix}\end{align*}$ bằng cách áp dụng định lý về tổ hợp tuyến tính của các hàng(cột).
224. Tính định thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&3&4\\2&a+3&b+4\\2&c+3&d+4 \end{vmatrix}\end{align*}$
Giải các hệ phương trình
225. $\left\{\begin{array}{I} 5x-y-z=0\\ x+2y+3z=14\\ 4x+3y+2z=16 \end{array}\right.$
226. $\left\{\begin{array}{I} x+3y-6z=12\\ 3x+2y+5z=-10\\ 2x+5y-3z=6 \end{array}\right.$
227. $\left\{\begin{array}{I} -5x+y+z=0\\ x-6y+z=0\\ x+y-7z=0 \end{array}\right.$
228. $\left\{\begin{array}{I} x+y+z=0\\ 3x+6y+5z=0\\ x+4y+3z=0 \end{array}\right.$
229. $\left\{\begin{array}{I} ax+by+cz=a-b\\ bx+cy+az=b-c\\ cx+ay+bz=c-a \end{array}\right.$
230. $\left\{\begin{array}{I} ax+by+(a+b)z=0\\ bx+ay+(a+b)z=0\\ x+y+2z=0 \end{array}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 11-02-2019 - 05:58
