Chủ đề này có 2 trả lời

[stephen curry]

Cho đường tròn(O) đường kính AB và CD. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt AC tại E, DE cắt (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng AF,BC,OE đồng quy

[tritanngo99]

Cho đường tròn(O) đường kính AB và CD. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt AC tại E, DE cắt (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng AF,BC,OE đồng quy

Lời giải:

Gọi $\left\{H\right\}=AF\cap BE$.

1. Đầu tiên ta đi chứng minh $AB\parallel CH$.

Thật vậy, ta có: $\angle{CFA}=\angle{CBA}=90^0-\angle{CAB}=\angle{AEB}=\angle{CEH}\implies $ tứ giác $CFHE$ là tứ giác nội tiếp.

$\implies \angle{CHE}=\angle{CFE}=180^0-\angle{CFD}=180^0-90^0=90^0$.

$\implies CH\bot BE$.

Mặt khác: $AB\bot BE$, nên từ đây ta suy ra được $AB\parallel CH$.

2. Tiếp theo ta đi chứng minh: $AF,BC,OE$ đồng quy.

Thật vậy, do $AB\parallel CH$ nên theo định lý Viet ta có: $\frac{BH}{HE}=\frac{AC}{CE}$.

Lúc này, xét $\triangle{ABE}$, có: $\frac{AO}{OB}.\frac{BH}{HE}.\frac{EC}{CA}=1$ (Do $O$ là trung điểm $AB$ và $\frac{BH}{HE}=\frac{AC}{CE}$).

Khi đó theo định lý Cava đảo ta suy ra được: $AF,BC,OE$ đồng quy. Hay ta có điều phải chứng minh.

[halloffame]

2. Tiếp theo ta đi chứng minh: $AF,BC,OE$ đồng quy.

Thật vậy, do $AB\parallel CH$ nên theo định lý Viet ta có: $\frac{BH}{HE}=\frac{AC}{CE}$.

Lúc này, xét $\triangle{ABE}$, có: $\frac{AO}{OB}.\frac{BH}{HE}.\frac{EC}{CA}=1$ (Do $O$ là trung điểm $AB$ và $\frac{BH}{HE}=\frac{AC}{CE}$).

Khi đó theo định lý Cava đảo ta suy ra được: $AF,BC,OE$ đồng quy. Hay ta có điều phải chứng minh.

 

Sau khi đã có $AB \parallel CH$ thì ý đồng quy của bài toán chính là Bổ đề hình thang.