Cho đường tròn(O) đường kính AB và CD. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt AC tại E, DE cắt (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng AF,BC,OE đồng quy
chứng minh AF,BC,OE ĐỒNG QUY
#1
Đã gửi 02-02-2019 - 13:40
#2
Đã gửi 03-02-2019 - 07:12
Cho đường tròn(O) đường kính AB và CD. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt AC tại E, DE cắt (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng AF,BC,OE đồng quy
Lời giải:
Gọi $\left\{H\right\}=AF\cap BE$.
1. Đầu tiên ta đi chứng minh $AB\parallel CH$.
Thật vậy, ta có: $\angle{CFA}=\angle{CBA}=90^0-\angle{CAB}=\angle{AEB}=\angle{CEH}\implies $ tứ giác $CFHE$ là tứ giác nội tiếp.
$\implies \angle{CHE}=\angle{CFE}=180^0-\angle{CFD}=180^0-90^0=90^0$.
$\implies CH\bot BE$.
Mặt khác: $AB\bot BE$, nên từ đây ta suy ra được $AB\parallel CH$.
2. Tiếp theo ta đi chứng minh: $AF,BC,OE$ đồng quy.
Thật vậy, do $AB\parallel CH$ nên theo định lý Viet ta có: $\frac{BH}{HE}=\frac{AC}{CE}$.
Lúc này, xét $\triangle{ABE}$, có: $\frac{AO}{OB}.\frac{BH}{HE}.\frac{EC}{CA}=1$ (Do $O$ là trung điểm $AB$ và $\frac{BH}{HE}=\frac{AC}{CE}$).
Khi đó theo định lý Cava đảo ta suy ra được: $AF,BC,OE$ đồng quy. Hay ta có điều phải chứng minh.
- ILikeMath22042001 và stephen curry thích
#3
Đã gửi 11-02-2019 - 21:48
2. Tiếp theo ta đi chứng minh: $AF,BC,OE$ đồng quy.
Thật vậy, do $AB\parallel CH$ nên theo định lý Viet ta có: $\frac{BH}{HE}=\frac{AC}{CE}$.
Lúc này, xét $\triangle{ABE}$, có: $\frac{AO}{OB}.\frac{BH}{HE}.\frac{EC}{CA}=1$ (Do $O$ là trung điểm $AB$ và $\frac{BH}{HE}=\frac{AC}{CE}$).
Khi đó theo định lý Cava đảo ta suy ra được: $AF,BC,OE$ đồng quy. Hay ta có điều phải chứng minh.
Sau khi đã có $AB \parallel CH$ thì ý đồng quy của bài toán chính là Bổ đề hình thang.
- tritanngo99 yêu thích
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh