Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c =3$. Tìm GTNN

bdt gtnn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 PhanDHNam

PhanDHNam

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chư Ty, Đức Cơ, Gia Lai
  • Sở thích:Math, Chemistry, and Films

Đã gửi 02-02-2019 - 16:13

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =3. Tìm GTNN của biểu thức $abc + \frac{12}{ab+bc+ac}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 21-02-2019 - 09:55


#2 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 02-02-2019 - 17:08

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c =3. Tìm GTNN của biểu thức $abc + \frac{12}{ab+bc+ac}$

Lời giải: 

Đặt $(a+b+c;ab+bc+ca;abc)=(p;q;r)$. Theo đề: $p=3$. 

Ta có hệ thức quen thuộc sau: $p^3+9r\ge 4pq\implies 27+9r\ge 12q\implies 9+3r\ge 4q\implies r\ge \frac{4q-9}{3}$.

Khi đó: $abc+\frac{12}{ab+bc+ca}=r+\frac{12}{q}\ge \frac{4q-9}{3}+\frac{12}{q}=\frac{4q}{3}+\frac{12}{q}-3=\frac{4}{3}(q+\frac{9}{q})-3\ge \frac{4}{3}.2.3-3=5$.

Vậy GTNN cần tìm là $5$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#3 PhanDHNam

PhanDHNam

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chư Ty, Đức Cơ, Gia Lai
  • Sở thích:Math, Chemistry, and Films

Đã gửi 03-02-2019 - 16:02

Lời giải: 

Đặt $(a+b+c;ab+bc+ca;abc)=(p;q;r)$. Theo đề: $p=3$. 

Ta có hệ thức quen thuộc sau: $p^3+9r\ge 4pq\implies 27+9r\ge 12q\implies 9+3r\ge 4q\implies r\ge \frac{4q-9}{3}$.

Khi đó: $abc+\frac{12}{ab+bc+ca}=r+\frac{12}{q}\ge \frac{4q-9}{3}+\frac{12}{q}=\frac{4q}{3}+\frac{12}{q}-3=\frac{4}{3}(q+\frac{9}{q})-3\ge \frac{4}{3}.2.3-3=5$.

Vậy GTNN cần tìm là $5$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.

Mình cảm ơn, liệu còn cách nào khác ngoài cách dùng p,q,r không bạn ? 



#4 PhanDHNam

PhanDHNam

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chư Ty, Đức Cơ, Gia Lai
  • Sở thích:Math, Chemistry, and Films

Đã gửi 03-02-2019 - 16:13

Lời giải: 

Đặt $(a+b+c;ab+bc+ca;abc)=(p;q;r)$. Theo đề: $p=3$. 

Ta có hệ thức quen thuộc sau: $p^3+9r\ge 4pq\implies 27+9r\ge 12q\implies 9+3r\ge 4q\implies r\ge \frac{4q-9}{3}$.

Khi đó: $abc+\frac{12}{ab+bc+ca}=r+\frac{12}{q}\ge \frac{4q-9}{3}+\frac{12}{q}=\frac{4q}{3}+\frac{12}{q}-3=\frac{4}{3}(q+\frac{9}{q})-3\ge \frac{4}{3}.2.3-3=5$.

Vậy GTNN cần tìm là $5$. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.

Cách của mình làm đến bước cuối thì không biết đánh giá kiểu gì 

Theo nguyên lí Dirichle trong ba số $a-1, b-1, c-1$ có hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là : $a-1, b-1$

Khi đó $(a-1)(b-1)c\geq 0\Leftrightarrow abc\geq ac+bc-c=c(3-c)-c$

$\Leftrightarrow abc\geq 2c-c^2$

Mặt khác ta có : $ab+bc+ac\leqslant \frac{(a+b)^2}{4}+c(3-c)=\frac{(3-c)^2}{4}+c(3-c)$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq \frac{-3c^2+6c+9}{4}\Leftrightarrow \frac{12}{ab+bc+ac}\geqslant \frac{48}{-3c^2+6c+9}=\frac{16}{-c^2+2c+3}$

$\Rightarrow abc+\frac{12}{ab+bc+ac}\geqslant 2c-c^2+\frac{16}{2c-c^2+3}$. Đến đây mình định đặt cụm $2c-c^2=t$ rồi AM-GM nhưng lại không biết âm dương, mong bạn góp ý . Mình cảm ơn



#5 tritanngo99

tritanngo99

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1454 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 03-02-2019 - 16:21

Cách của mình làm đến bước cuối thì không biết đánh giá kiểu gì 

Theo nguyên lí Dirichle trong ba số $a-1, b-1, c-1$ có hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử hai số đó là : $a-1, b-1$

Khi đó $(a-1)(b-1)c\geq 0\Leftrightarrow abc\geq ac+bc-c=c(3-c)-c$

$\Leftrightarrow abc\geq 2c-c^2$

Mặt khác ta có : $ab+bc+ac\leqslant \frac{(a+b)^2}{4}+c(3-c)=\frac{(3-c)^2}{4}+c(3-c)$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq \frac{-3c^2+6c+9}{4}\Leftrightarrow \frac{12}{ab+bc+ac}\geqslant \frac{48}{-3c^2+6c+9}=\frac{16}{-c^2+2c+3}$

$\Rightarrow abc+\frac{12}{ab+bc+ac}\geqslant 2c-c^2+\frac{16}{2c-c^2+3}$. Đến đây mình định đặt cụm $2c-c^2=t$ rồi AM-GM nhưng lại không biết âm dương, mong bạn góp ý . Mình cảm ơn

Ta có: $\frac{(3-c)^2}{4}+c(3-c)>0\iff \frac{-3c^2+6c+9}{4}>0\iff -c^2+2c+3>0$. Do đó đặt $t=-c^2+2c+3(t>0)$.

Khi đó khảo sát hàm $f(c)=2c-c^2+\frac{16}{2c-c^2+3}=t-3+\frac{16}{t}=(t+\frac{16}{t})-3\ge 2.4-3=5$.

Đến đây ta cũng suy ra được như trên.


  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1159 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 03-02-2019 - 21:03

Không mất đi tính tổng quát trong chứng minh $\it{,}$ giả sử $\it{0}< \it{a}\leqq \it{b}\leqq \it{c}$ $\it{.}$ Bất đẳng thức trên cũng được viết dưới dạng $\it{:}$

$$\it{abc}+ \frac{\it{24}}{\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}- \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{c}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}}\geqq \it{5}$$

với $\it{:}$

$$\it{a}+ \it{b}+ \it{c}= \it{3}\,\,,\,\,\it{abc}= \it{constant}$$

Ta được một hàm số bậc nhất theo $\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{c}^{\,\it{2}}$ $\it{,}$ để đạt được $\min$ thì $\it{a}\leqq \it{b}= \it{c}$ $\it{.}$ $\it{[}$ sử dụng phương pháp $\lceil$ uvw $\rfloor$ $\it{]}$ $\it{.}$ Ta cần chứng minh $\it{:}$

$$\it{ab}^{\,\it{2}}+ \frac{\it{12}}{\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{ab}}\geqq \it{5}\,\,\it{(}\,\,\it{0}< \it{a}\leqq \it{1}\leqq \it{b}\,\,,\,\,\it{a}+ \it{2}\,\it{b}= \it{3}\,\,\it{)}$$

$$\Leftrightarrow \,\,\it{(}\,\,\it{3}- \it{2}\,\it{b}\,\,\it{)}\it{b}^{\,\it{2}}+ \frac{\it{12}}{\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{2}\it{(}\,\,\it{3}- \it{2}\,\it{b}\,\,\it{)}\it{b}}\geqq \it{5}\,\,\Leftrightarrow \,\,\it{(}\,\,\it{b}- \it{1}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{2}\,\it{b}^{\,\it{3}}- \it{3}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}+ \it{4}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$

Với $\it{0}< \it{b}\leqq \frac{\it{3}}{\it{2}}\Rightarrow \it{2}\,\it{b}^{\,\it{3}}- \it{3}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}+ \it{4}> \it{0}$ $\it{,}$ trong  tình huống ngược lại $\it{:}$

$\it{f}\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}= \it{2}\,\it{b}^{\,\it{3}}- \it{3}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{b}+ \it{4}$ cho ta $\it{:}$

${\it{f}}'\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}= \it{6}\,\it{b}^{\,\it{2}}- \it{6}\,\it{b}- \it{2}$ có nghiệm $\it{:}$ $\alpha = \frac{\it{3}+ \sqrt{\,\it{21}\,}}{\it{6}}< \frac{\it{3}}{\it{2}}$ $\it{,}$ lập được bảng biến thiên phía dưới $\it{:}$

$$\begin{array}{|r|l|l|l|l|l|} \hline \it{b}\,\,\,\,\,\,\, & \it{1} & \it{...} & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha & \it{...} & \frac{\it{3}}{\it{2}} \\ \hline {\it{f}}'\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)} & \, & \it{-} & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\it{0} & \it{+} & \it{0} \\ \hline \it{f}\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}\, & \, & \it{\searrow} & \text{very small} & \it{\nearrow} & \\ \hline \end{array}$$

$\Rightarrow \it{f}\it{(}\,\,\it{b}\,\,\it{)}\geqq \it{f}\it{(}\,\,\alpha\,\,\it{)}= {\it{f}}'\it{(}\,\,\alpha\,\,\it{)}\,\it{.}\,\frac{\it{2}\,.\,\alpha - \it{1}}{\it{6}}- \frac{\it{7}\,.\,\alpha - \it{11}}{\it{3}}= \frac{\it{11}- \it{7}\,.\,\it{\alpha }}{\it{3}}> \it{0}\,\,\it{(}\,\,\alpha < \frac{\it{3}}{\it{2}}< \frac{\it{11}}{\it{7}}\,\,\it{)}$ $\it{.}$

Nhận xét $\it{:}$ Bất đẳng thức tổng quát với cùng điều kiện giả thiết $\it{:}$

$$\it{abc}+ \frac{\it{k}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\it{k}+ \it{4}}{\it{ab}+ \it{bc}+ \it{ca}}\geqq \it{k}+ \it{1}\,\,\it{(}\,\,\it{k}\geqq \it{0}\,\,\it{)}$$

Đúng với $\it{:}$

$\left ( \,\,\it{k}\in \it{[}\,\,\it{1}\,\,,\,\,\it{4}\,\,\it{]}\,\, \right )\,\,\wedge \,\,\left ( \,\,\it{k}\in \it{[}\,\,\it{0}\,.\,\it{208381}\,\,,\,\,\it{0}\,.\,\it{839196}\,\,\it{]}\,\, \right )$ và $\it{:}$

$\it{0}\,.\,\it{208381}$ và $\it{0}\,.\,\it{839196}$ là $\it{2}$ nghiệm của phương trình $\it{:}$

$\it{3125}\,\it{k}^{\,\it{6}}- \it{27}\,\it{471}\,\it{k}^{\,\it{5}}+ \it{80994}\,\it{k}^{\,\it{4}}- \it{139}\,\it{549}\,\it{k}^{\,\it{3}}+ \it{268}\,\it{545}\,\it{k}^{\,\it{2}}- \it{199}\,\it{641}\,\it{k}+ \it{31}\,\it{061}= \it{0}$ $\it{.}$

Spoiler

 







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh