Chủ đề này có 1 trả lời

[meninblack]

Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm: 

 $\left\{\begin{matrix}x-1>0\\x^2-2mx+1 \leq 0\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meninblack: 02-02-2019 - 16:29

[tritanngo99]

Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm: 

 $\left\{\begin{matrix}x-1>0\\x^2-2mx+1 \leq 0\end{matrix}\right.$

Đặt $t=x-1\implies x=t+1$. Khi đó hệ đã cho tương đương:

$\left\{\begin{array}{I} t>0\\ (t+1)^2-2m(t+1)+1\le 0\end{array}\right.$

Xét phương trình: $f(t)=(t+1)^2-2m(t+1)+1\le 0\iff t^2+2t(1-m)+2-2m\le 0$.

Ta có: $\Delta'=(1-m)^2-(2-2m)=m^2-1$.

Đến đây ta xét hai trường hợp:

TH1: $\Delta'=m^2-1<0\iff m\in (-1;1)\implies f(t)>0$. Suy ra hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm.

TH2: $\Delta'=m^2-1\ge 0\iff m\ge 1$ hoặc $m\le -1$.

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm là $t_1,t_2(t_1>0,t_2>0)$ ($t_1,t_2$ không nhất thiết phân biệt).

Theo định lý Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{I} t_1+t_2=m-1\\ t_1t_2=2-2m\end{array}\right.$

Do $t_1>0,t_2>0\implies \left\{\begin{array}{I} t_1+t_2=m-1>0\\ t_1t_2=2-2m>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{I} m>1\\m<1\end{array}\right.$. Suy ra vô lý.

Vậy từ hai trường hợp trên ta suy ra được: Không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.