Chủ đề này có 1 trả lời

[songngu163]

Hai bạn A và B mỗi bạn lên bảng viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau đồng thời tổng lập phương các chữ số đó chia hết cho 3 là

[dottoantap]

Hai bạn A và B mỗi bạn lên bảng viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau. Xác suất để các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau đồng thời tổng lập phương các chữ số đó chia hết cho 3 là

Ta thấy với $n$ nguyên thì :
$n^{3}-n=n\left ( n+1 \right )\left ( n-1 \right )\vdots 3\Rightarrow \left ( n^{3}-n \right )\vdots 3$
Giả sử bạn A viết số có dạng $A=\overline{abc}$ thì:
$ a^{3}-a+b^{3}-b+c^{3}-c= a^{3}+b^{3}+c^{3}- \left ( a+b+c \right )\vdots 3$
$ \Rightarrow \left ( a+b+c \right )\vdots 3$
Các chữ số thập phân được chia thành các tập $\left \{ 0 \right \}; D_{0}=\left \{ 3,6,9 \right \};D_{1}=\left \{ 1,4,7 \right \};D_{2}=\left \{ 2,5,8 \right \}$.
+ Số $A$ có chữ số $0$:
Chọn 2 chữ số thuộc $D_{0}$ hoặc chọn 1 chữ số thuộc $D_{1}$ và 1 chữ số thuộc $D_{2}: \left ( C_{3}^{2}+C_{3}^{1}C_{3}^{1} \right ).2.2=48\text{ số}$
+ Số $A$ không có chữ số $0$:
Chọn 3 chữ số thuộc $D_{0}$ hoặc thuộc $D_{1}$ hoặc thuộc $D_{2}$ hoặc chọn 1 chữ số thuộc $D_{0}$ và 1 chữ số thuộc $D_{1}$ và 1 chữ số thuộc $D_{2}: \left ( C_{3}^{3}+ C_{3}^{3}+ C_{3}^{3}+C_{3}^{1}C_{3}^{1}C_{3}^{1} \right ).3!=180\text{ số}$
Như vậy,hai bạn $A$ và $B$ viết được:
$48.2.2!+180.3!=192+1080=1272\text{ số}$
Vì mỗi bạn có thể viết $9.9.8$ số nên số phần tử KGM là: $9^{4}.8^{2}\text{ số}$
Do đó XS cần tìm là:
$\frac{1272}{419904}=\frac{53}{17496}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 26-02-2019 - 23:43