3. Tích hỗn hợp.
Tích hỗn hợp của các vectơ $\vec{a},\vec{b}$ và $\vec{c}$ là tích vô hướng của vectơ $\vec{a}x\vec{b}$ với vectơ $\vec{c}: (\vec{a}x\vec{b}).\vec{c}$.
Tích hỗn hợp của ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ có môđun bằng thể tích hình hộp dựng trên các vectơ này.
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH HỖN HỢP
1. Tích hỗn hợp của ba vectơ bằng không nếu:
a) Có ít nhất một trong các vectơ nhân thức bằng không;
b) hai trong các vectơ nhân thức song song (cộng tuyến);
c) cả ba vectơ song song với cùng một mặt phẳng (đồng phẳng).
2. Tích hỗn hợp không đổi nếu ta đổi chỗ dấu tích vectơ $(X)$ và tích vô hướng $(.)$, nghĩa là $(\vec{a}x\vec{b}).\vec{c}=\vec{a}.(\vec{b}x\vec{c})$. Theo tính chất này ta quy ước viết tích hỗn hợp của các vectơ $\vec{a},]vec{b}$ và $\vec{c}$ dưới dạng $\vec{a}\vec{b}\vec{c}$.
3. Tích hỗn hợp không đổi chỗ nếu ta hoán vị vòng quanh các vectơ $\vec{a}\vec{b}\vec{c}=\vec{b}\vec{c}\vec{a}=\vec{c}\vec{a}\vec{b}$.
4. Khi đổi chỗ hai vectơ bất kỳ thì tích hỗn hợp chỉ đổi dấu: $\vec{b}\vec{a}\vec{c}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c};\vec{c}\vec{b}\vec{a}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c};\vec{a}\vec{c}\vec{b}=-\vec{a}\vec{b}\vec{c}$.
Nếu cho các vectơ dưới dạng phân tích theo các vectơ đơn vị cơ sở:
$\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k};\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k};\vec{c}=x_3\vec{i}+y_3\vec{j}+z_3\vec{k}$ thì
$\vec{a}\vec{b}\vec{c}=\begin{align*}\begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3 \end{vmatrix}\end{align*}$.
Từ các tính chất của tích hỗn hợp của ba vectơ ta suy ra:
a) Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng $\vec{a}\vec{b}\vec{c}=0$.
b) thể tích $V_1$ của hình hộp dựng trên các vectơ $\vec{a},\vec{b}$ và $\vec{c}$ và thể tích $V_2$ của hình chóp tam giác tạo thành bởi các vectơ đó tìm được theo công thức: $V_1=|\vec{a}\vec{b}\vec{c}|;V_2=\frac{1}{6}V_1=\frac{1}{6}|\vec{a}\vec{b}\vec{c}|$.
Các ví dụ:
254. Tìm tích vô hướng của các vectơ $\vec{a}=3\vec{i}+4\vec{j}+7\vec{k}$ và $\vec{b}=2\vec{i}-5\vec{j}+2\vec{k}$.
Giải. Ta được $\vec{a}\vec{b}=3.2+4.(-5)+7.2=0$. Vì $\vec{a}.\vec{b}=0$ nên $\vec{a}\bot \vec{b}$.
255. Cho các vectơ $\vec{a}=m\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}$ và $\vec{b}=4\vec{i}+m\vec{j}-7\vec{k}$. Với giá trị nào của $m$ thì các vectơ này thẳng góc với nhau?
Giải. Ta có tích vô hướng của các vectơ này $\vec{a}\vec{b}=4m+3m-28$. Vì $\vec{a}\bot \vec{b}$ nên $\vec{a}\vec{b}=0$. Do đó $7m-28=0$, nghĩa là $m=4$.
256. Tìm $(5\vec{a}+3\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})$ nếu $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,\vec{a}\bot \vec{b}$.
Giải. Ta có: $(5\vec{a}+3\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=10\vec{a}^2-5\vec{a}\vec{b}+6\vec{a}\vec{b}-3\vec{b}^2=10a^2-3b^2=40-27=13$.
257. Xác định góc giữa các vectơ $\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ và $\vec{b}=6\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k}$.
Giải. Vì $\vec{a}\vec{b}=abcos\phi$ nên $cos \phi=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}$. Ta có: $\vec{a}\vec{b}=1.6+2.4+3.(-2)=8,a=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14},b=\sqrt{36+16+4}=2\sqrt{14}$. Do đó $cos \phi=\frac{8}{\sqrt{14}.2\sqrt{14}}=\frac{2}{7}$ và $\phi=arccos \frac{2}{7}$.
258. Tìm vectơ đơn vị cùng hướng với vectơ $\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$.
Giải. Ta tìm độ dài của $\vec{a}: a=\sqrt{1+4+4}=3,\vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{3}$ nên $\vec{a_0}=\frac{1}{3}\vec{i}+\frac{2}{3}\vec{j}+\frac{2}{3}\vec{k}$.
259. Tìm tích vectơ của các vectơ $\vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k}$ và $\vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$.
Giải. Ta có: $\vec{a}x\vec{b}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\ 2&3&5\\ 1&2&1\end{vmatrix}\end{align*}$
$\iff \vec{a}x\vec{b}=-7\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}$.
260. Tính diện tích hình bình hành dựng trên các vectơ $\vec{a}=6\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}$ và $\vec{b}=3\vec{i}-2\vec{j}+6\vec{k}$.
Giải. Ta tìm tích vectơ của các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.
$\vec{a}x\vec{b}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\6&3&-2\\3&-2&6 \end{vmatrix}\end{align*}$
$\iff \vec{a}x\vec{b}=14\vec{i}-42\vec{j}-21\vec{k}$.
Vì môđun của tích vectơ của hai vectơ bằng diện tích hình bình hành dựng trên chung, nên $S=|\vec{a}x\vec{b}|=\sqrt{14^2+42^2+21^2}=49$ (đơn vị diện tích).
261. Tính diện tích tam giác với các đỉnh $A(1;1;1),B(2;3;4),C(4;3;2)$.
Giải. Ta tìm các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.
$\vec{AB}=(2-1)\vec{i}+(3-1)\vec{j}+(4-1)\vec{k}=\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$
$\vec{AC}=(4-1)\vec{i}+(3-1)\vec{j}+(2-1)\vec{k}=3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$.
Diện tích tam giác $ABC$ bằng nửa diện tích hình bình hành dựng trên các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$, vì vậy ta tìm tích vectơ của các vectơ này.
$\vec{AB}x\vec{AC}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\ 1&2&3\\ 3&2&1\end{vmatrix}\end{align*}=-4\vec{i}+8\vec{j}-4\vec{k}$.
Do đó: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|\vec{AB}x\vec{AC}|=\frac{1}{2}\sqrt{16+64+16}=\sqrt{24}$(đ.v.d.t).
262. Tính diện tích hình bình hành dựng trên các vectơ $\vec{a}+3\vec{b}$ và $3\vec{a}+\vec{b}$ nếu $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1,\widehat{\vec{a},\vec{b}}=30^0$.
Giải. Ta có:
$(\vec{a}+3\vec{b})x(3\vec{a}+\vec{b})=3\vec{a}x\vec{a}+\vec{a}x\vec{b}+9\vec{b}x\vec{a}+3\vec{b}x\vec{b}=3.0+\vec{a}x\vec{b}-9\vec{a}x\vec{b}+3.0=-8\vec{a}x\vec{b}$.
(Vì $\vec{a}x\vec{a}=\vec{b}x\vec{b}=0,\vec{b}x\vec{a}=-\vec{a}x\vec{b}$). Vậy $S=8|\vec{a}x\vec{b}|=8.1.1.sin 30^0=4$(đ.v.d.t).
263. Tìm tích hỗn hợp của các vectơ $\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}-\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k},\vec{c}=\vec{i}+\vec{j}+4\vec{k}$.
Giải. Ta có: $\vec{a}\vec{b}\vec{c}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&-1&-1\\ 1&3&-1\\ 1&1&4\end{vmatrix}\end{align*}=26+5+2=33$.
264. Chứng minh rằng các vectơ $\vec{a}=2\vec{i}+5\vec{j}+7\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k},\vec{c}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}$ đồng phẳng.
Giải. Ta tìm tích hỗn hợp của các vectơ.
$\vec{a}\vec{b}\vec{c}=\begin{align*}\begin{vmatrix}2&5&7\\ 1&1&-1\\ 1&2&2 \end{vmatrix}\end{align*}=8-15+7=0$.
Vì $\vec{a}\vec{b}\vec{c}=0$ nên đồng phẳng.
265. Tìm thể tích hình chóp tam giác với các đỉnh $A(2;2;2),B(4;3;3),C(4;5;4),D(5;5;6)$.
Giải. Ta tìm các vectơ $\vec{AB},\vec{AC}$ và $\vec{AD}$ trùng với các cạnh bên của hình chóp đi qua đỉnh $A:\vec{AB}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},\vec{AC}=2\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k},\vec{AD}=3\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}$.
Tính tích hỗn hợp của các vectơ này: $\vec{AB}\vec{AC}\vec{AD}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&1&1\\ 2&3&2\\ 3&3&4\end{vmatrix}\end{align*}=2.6-1.2-1.3=7$.
Vì thể tích hình chóp bằng $\frac{1}{6}$ thể tích hình hộp dựng trên các vectơ $\vec{AB},\vec{AC}$ và $\vec{AD}$ nên $V=\frac{7}{6}$ (đ.v.d.t)
266. Tính $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c})(\vec{c}-\vec{a})$.
Giải. Vì $(\vec{a}-\vec{b})+(\vec{b}-\vec{c})+(\vec{c}-\vec{a})=0$ nên các vectơ này đồng phẳng.
Do đó tích hỗn hợp của các vectơ này bằng không, nghĩa là $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{b}-\vec{c})(\vec{c}-\vec{a})=0$.
268. Xác định góc giữa các vectơ $\vec{a}=3\vec{i}+4\vec{j}+5\vec{k}$ và $\vec{b}=4\vec{i}+5\vec{j}-3\vec{k}$.
269. Với giá trị nào của $m$ các vectơ $\vec{a}=m\vec{i}+\vec{j}$ và $\vec{b}=3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$ thẳng góc với nhau.
270. Tìm tích vô hướng của các vectơ $2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}$ và $5\vec{a}+6\vec{b}+7\vec{c}$, nếu $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=3,(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=(\widehat{\vec{a},\vec{c}})=(\widehat{\vec{b},\vec{c}})=\frac{\pi}{3}$.
271. Tìm công của lực $F$ trên chuyển dịch $s$, nếu $F=2,s=5$ và góc $\phi=(\widehat{F,s})=\frac{\pi}{6}$.
272. Tìm vectơ đơn vị thẳng góc với các vectơ $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$ và $\vec{b}=2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$.
273. Các vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ có độ dài bằng nhau và từng cặp tạo thành những góc bằng nhau. Tìm vectơ $\vec{c}$ nếu $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j},\vec{b}=\vec{j}+\vec{k}$.
274. Cho các vectơ $\vec{a}=2\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$ và $\vec{b}=6\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k}$. Tìm $hc_{\vec{a}}\vec{b}$ và $hc_{\vec{b}}\vec{a}$ (hình chiếu của vectơ $\vec{b}$ lên $\vec{a}$ và hình chiếu của vectơ $\vec{a}$ lên $\vec{b}$).
275. Cho các bán kính vectơ của ba đỉnh liên tiếp của hình bình hành $ABCD$.
$\vec{r_A}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},\vec{r_B}=\vec{i}+3\vec{j}+5\vec{k},\vec{r_C}=7\vec{i}+9\vec{j}+11\vec{k}$.
276. Chứng minh rằng các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không thể thẳng góc với nhau, nếu $\vec{a}.\vec{i}>0,\vec{a}.\vec{j}>0,\vec{a}.\vec{k}>0,\vec{b}.\vec{i}<0,\vec{b}.\vec{j}<0,\vec{b}.\vec{k}<0$.
277. Chứng minh rằng các vectơ $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}+m\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}+(m+1)\vec{k}$ và $\vec{c}=\vec{i}-\vec{j}+m\vec{k}$
không đồng phẳng với bất kỳ một giá trị nào của $m$.
278. Các số $x_1,x_2,x-3,y_1,y_2,y_3,z_1,z_2,z_3$ thỏa mãn các phương trình $\begin{align*}\begin{vmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}\end{align*}$ và $\left\{\begin{array}{I} x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0\\ x_1x_3+y_1y_3+z_1z_3=0\\x_2x_3+y_2y_3+z_2z_3=0 \end{array}\right.$ có thể khác không được không?
279. Tìm tích vectơ của các vectơ $\vec{a}=2\vec{i}+5\vec{j}+\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$.
280. Tính diện tích tam giác có các đỉnh $A(2;2;2), B(4;0;3)$ và $C(0;1;0)$.
281. Tìm tích hỗn hợp của các vectơ $\vec{a}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},\vec{c}=2\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}$.
282. Chứng minh rằng các vectơ $\vec{a}=7\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k},\vec{b}=3\vec{i}-7\vec{j}+8\vec{k},\vec{c}=\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}$ đồng phẳng.
283. Tính thể tích hình chóp tam giác có các đỉnh $A(0;0;1),B(2;3;5),C(6;2;3)$ và $D(3;7;2)$.
284. Tìm độ dài đường cao hạ xuống mặt bên $BCD$ của hình chóp trong bài trên.
285. Chứng minh rằng các điểm $A(5;7;-2),B(3;1;-1),C(9;4;-4)$ và $D(1;5;0)$ nằm trên cùng một mặt phẳng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 13-02-2019 - 17:07