Chủ đề này có 6 trả lời

[tritanngo99]

Phần I: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG.

1. Mặt phẳng.

1. Phương trình mặt phẳng dưới dạng vectơ có dạng $\vec{r}.\vec{n}=p$.

 Ở đây $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ là bán kính vectơ của điểm chạy $M(x;y;z)$ trên mặt phẳng; $\vec{n}=\vec{i}cos \alpha+\vec{j}cos \beta+\vec{k} cos \gamma$ là vectơ đơn vị có hướng của đường thẳng góc hạ từ điểm gốc tọa độ lên mặt phẳng, $\alpha,\beta,\gamma$ là các góc tạo nên bởi đường thẳng góc này với các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $p$ là độ dài của đoạn thẳng góc này.

  Khi đưa vào hệ tọa độ phương trình này có dạng $xcos \alpha+ycos \beta+zcos \gamma-p=0(1)$ (phương trình dạng chuẩn của mặt phẳng).

2. Phương trình của mọi mặt phẳng cũng có thể viết dưới dạng $Ax+By+Cz+D=0(2)$ nếu $A^2+B^2+C^2\ne 0$ (phương trình tổng quát). Ở đây $A,B,C$ có thể xem như các tọa độ của vectơ $\vec{N}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}$ nào đó thẳng góc với mặt phẳng. Để đưa phương trình tổng quát của mặt phẳng về dạng chuẩn ta phải nhân tất cả các số hạng của phương trình với nhân thức chuẩn hóa $\mu =\pm \frac{1}{N}=\pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}(3)$. trong đó dấu trước căn trái với dấu của số hạng tự do $D$ trong phương trình tổng quát của mặt phẳng.

3. Các trường hợp đặc biệt của mặt phẳng xác định từ phương trình tổng quát $Ax+By+Cx+D=0$.

$A=0$: mặt phẳng song song với trục $Ox$.

$B=0$: mặt phẳng song song với trục $Oy$.

$C=0$: mặt phẳng song song với trục $Oz$.

$D=0$: mặt phẳng đi qua gốc tọa độ;

$A=B=0$: mặt phẳng thẳng góc với trục $Oz$ (song song với mặt phẳng $xOy$).

$A=C=0$: mặt phẳng thẳng góc với truc $Oy$ (song song với mặt phẳng $xOz$).

$B=C=0$: mặt phẳng thẳng góc với trục $Ox$ (song song với mặt phẳng $yOz$).

$A=D=0$: mặt phẳng đi qua trục $Ox$.

$B=D=0$: mặt phẳng đi qua trục $Oy$.

$C=D=0$: mặt phẳng đi qua trục $Oz$.

$A=B=D=0$: mặt phẳng trùng với mặt $xOy(z=0)$.

$A=C=D=0$: mặt phẳng trùng với mặt $xOz(y=0)$.

$B=C=D=0$: mặt phẳng trùng với mặt $yOz(x=0)$.

  Nếu trong phương trình tổng quát của mặt phẳng hệ số $D\ne 0$ thì bằng cách chia tất cả các số hạng của phương trình cho $-D$ ta có thể đưa phương trình mặt phẳng về dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1(4)$.

(ở đây $a=-\frac{D}{A},b=-\frac{D}{B},c=-\frac{D}{C}$). Phương trình này của mặt phẳng gọi là phương trình theo các đoạn chắn: trong đó $a,b$ và $c$ tương ứng là hoành độ, tung độ và cao độ của các giao điểm của mặt phẳng với các trục $Ox,Oy$ và $Oz$.

4. Góc $\phi$ giữa các mặt phẳng $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ và $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ xác định theo công thức: $cos \phi=\frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2+D_1^2} \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}(5)$.

Điều kiện song song của các mặt phẳng: $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}(6)$.

 Điều kiện thẳng góc của các mặt phẳng: $A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0(7)$.

5. Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ tìm được theo công thức: $d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}(8)$.

  Nó bằng giá trị tuyệt đối của đại lượng nhận được bằng cách thay các tọa độ của điểm $M_0$ vào phương trình dạng chuẩn của mặt phẳng; dấu của đại lượng này đặc trưng cho vị trí tương đối của điểm $M_0$ và gốc tọa độ đối với mặt phẳng đã cho: <<cộng>> nếu điểm $M_0$ và gốc tọa độ nằm ở hai phía khác nhau của mặt phẳng và <<>trừ>> nếu chúng nằm cùng một phía của mặt phẳng.

6. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và thẳng góc với vectơ $\vec{N}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}$ có dạng: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0(9)$ với $A,B$ và $C$ tùy ý phương trình này xác định một mặt phẳng nào đó thuộc bó mặt phẳng đi qua điểm $M_0$. Vì vậy nó thường được gọi là phương trình của bó mặt phẳng.

7. Phương trình $A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0(10)$ với $\lambda$ tùy ý xác định một mặt phẳng nào đó đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0(I)$ và $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0(II)$,

 nghĩa là một mặt phẳng nào đó thuộc chùm mặt phẳng đi qua đường thẳng này (do đó phương trình này thường được gọi là phương trình của chùm mặt phẳng). Nếu các mặt phẳng xác định bởi các phương trình $(I)$ và $(II)$ song song thì chùm mặt phẳng trở thành họ các mặt phẳng song song với các mặt phẳng này.

8. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước $M_1(\vec{r_1}),M_2(\vec{r_2}),M_3(\vec{r_3})$ (ở đây $\vec{r_1}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k};\vec{r_2}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k};\vec{r_3}=x_3\vec{i}+y_3\vec{j}+z_3\vec{k}$) tìm được một cách đơn giản từ điều kiện đồng phẳng của các vectơ $\vec{r}-\vec{r_1},\vec{r_2}-\vec{r_1},\vec{r_3}-\vec{r_1}$, trong đó $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ là bán kính vectơ của điểm chạy $M$ của mặt phẳng cần tìm: hình (11).

286. Đưa phương trình mặt phẳng $2x+3y-6z+21=0$ về dạng chuẩn.

Giải. Ta tìm nhân thức chuẩn hóa (nó có dấu <<trừ>> vì $D=21>0$): $\mu=-\frac{1}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=-\frac{1}{7}$

 Vậy, phương trình dạng chuẩn của mặt phẳng đã cho có dạng $-\frac{2}{7}x-\frac{3}{7}y+\frac{6}{7}z-3=0$.

287. Xác định khoảng cách từ điểm $M_0(3;5;-8)$ đến mặt phẳng $6x-3y+2z-28=0$.

Giải. Dùng công thức $(8)$ tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta được.

$d=\frac{|6.3-3.5+2.(-8)-28|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{41}{7}$.

 Vì kết quả thay tọa độ của điểm $M_0$ vào phương trình chuẩn của mặt phẳng có giá trị âm, nên điểm $M_0$ và gốc tọa độ nằm về cùng một phía của mặt đã cho.

288. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(2;3;5)$ và thẳng góc với vectơ $\vec{N}=4\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k}$.

Giải. Chỉ cần sử dụng phương trình $(9)$ của mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và thẳng góc với vectơ cho trước: $4(x-2)+3(y-3)+2(z-5)=0$, nghĩa là $4x+3y+2z-27=0$.

289. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(2;3;-1)$ và song song với mặt phẳng $5x-3y+2z-10=0$.

Giải. Ta viết phương trình bó mặt phẳng $(9)$ đi qua điểm đã cho $A(x-2)+B(y-3)+C(z+1)=0$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm trùng với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=[5;-3;2]$ của mặt phẳng cho trước; do đó $A=5,B=-3,C=2$ và phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: $5(x-2)-3(y-3)+2(z+1)=0$, hay $5x-3y+2z+1=0$.

290. Từ điểm $P(2;3;-5)$ hạ các đường thẳng góc xuống các mặt phẳng tọa độ. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua chân của chúng.

Giải. Chân của các đường thẳng góc hạ xuống các mặt phẳng tọa độ là các điểm sau: $M_1(2;3;0),M_2(2;0;-5),M_3(0;3;-5)$. Ta viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $M_1,M_2,M_3$; muốn vậy dùng phương trình $(11)$:

$\begin{align*}\begin{vmatrix} x-2&y-3&z\\0&-3&-5\\-2&0&-5\end{vmatrix}\end{align*}$ hay $15x+10y-6z-60=0$.

291. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(5;4;3)$ và chắn những đoạn bằng nhau trên các trục tọa độ.

Giải. Ta viết phương trình $(4)$ của mặt phẳng theo các đoạn chắn, trong đó $a=b=c:\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1$.

Các tọa độ của điểm $A$ phải thỏa mãn phương trình mặt phẳng cần tìm, vì vậy phải có đẳng thức: $\frac{5}{a}+\frac{4}{a}+\frac{3}{a}=1$, từ đó $a=12$

292. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng: $x+y+5z-1=0,2x+3y-z+2=0$ và qua điểm $M(3;2;1)$.

Giải. Ta dùng phương trình $(10)$ của chùm mặt phẳng: $x+y+5z-1+\lambda (2x+3y-z+2)=0$.

Giá trị $\lambda$ được xác định từ điều kiện là các tọa độ của điểm $M$ phải thỏa mãn phương trình này:

$3+2+5-1+\lambda (6+6-1+2)=9+13\lambda=0\implies \lambda=\frac{-9}{13}$.

Ta được phương trình cần tìm dưới dạng: $x+y+5z-1-\frac{9}{13}(2x+3y-z+2)=0$ hay $5x+14y-74z+31=0$.

293. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $x+3y+5z-4=0,x-y-2z+7=0$ và song song với trục $Oy$.

Giải. Ta dùng phương trình của chùm $x+3y+5z-4+\lambda (x-y-2z+7)=0$; hay $(1+\lambda)x+(3-\lambda)y+(5-2\lambda)z+(7\lambda-4)=0$.

  Vì mặt phẳng cần tìm song song với trục $Oy$, nên hệ số của $y$ phải bằng $0$, nghĩa là $3-\lambda=0;\lambda=3$. Thay giá trị của $\lambda$ và phương trình chùm ta được: $4x-z+17=0$.

294. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A(2;-1;4),B(3;2;-1)$ và thẳng góc với mặt phẳng $x+y+2z-3=0$.

Giải. Để lấy làm vectơ pháp tuyến $N$ của mặt phẳng cần tìm ta chọn vectơ trực giao với vectơ $\vec{AB}=\left\{1;3;-5\right\}$ và với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left\{1;1;2\right\}$  của mặt phẳng đã cho. Vì vậy lấy $\vec{N}$ là tích vectơ của $\vec{AB}$ và $\vec{n}$

$\vec{N}=\vec{AB}x\vec{n}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\ 1&3&-5\\ 1&1&2 \end{vmatrix}\end{align*}=11i-7j-2k$.

  Dùng phương trình mặt phẳng đi qua điểm cho trước (chẳng hạn $A$) và trực giao với vectơ $\vec{N}=\left\{11;-7;-2\right\}$, ta được: $11(x-2)-7(y+1)-2(z-4)=0$, hay $11x-7y-2z-21=0$

295. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(3;-1;-5)$ và trực giao với các mặt phẳng $3x-2y+2z+7=0$ và $5x-4y+3z+1=0$.

Giải. Rõ ràng rằng có thể lấy tích vectơ của các vectơ pháp tuyến $\vec{n_1}=\left\{3;-2;2\right\}$ và $\vec{n_2}=\left\{5;-4;3\right\}$ của các mặt phẳng đã cho làm vectơ pháp tuyến $\vec{N}$ của mặt phẳng cần tìm:

$\vec{N}=\vec{n_1}x\vec{n_2}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\ 3&-2&2\\ 5&-4&3 \end{vmatrix}\end{align*}=2\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$

  Bây giờ dùng phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(3;-1;-5)$ cho trước và trực giao với vectơ $\vec{N}=\left\{2;1;-2\right\}$ ta được $2(x-3)+(y+1)-2(z+5)=0$ hay $2x+y-2z-15=0$.

296. Đưa phương trình các mặt phẳng sau đây về dạng chuẩn: 

1) $x+y-z-2=0$

2) $3x+5y-4z+7=0$

297. Tìm khoảng cách từ điểm $M_0(1;3;-2)$ đến mặt phẳng $2x-3y-4z+12=0$. Xác định vị trí của điểm $M_0$ đối với mặt phẳng.

298. Tìm độ dài của đường thẳng góc hạ từ điểm $M_0(2;3;-5)$ đến mặt phẳng $4x-2y+5z-12=0$.

299. Tìm phương trình mặt phẳng:

1) đi qua điểm $M(-2;3;4)$ và chắn trên các trục tọa độ các đoạn bằng nhau;

2) đi qua điểm $N(2;-1;4)$ và chắn trên trục $Oz$ một đoạn dài gấp đôi các đoạn chắn trên các trục $Ox$ và $Oy$.

300. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $P(2;0;-1),Q(1;-1;3)$ và thẳng góc với mặt phẳng $3x+2y-z+5=0$.

301. Tìm điểm $M$ trên mặt phẳng $2x-5y+2z+5=0$, sao cho đường thẳng $OM$ lập với các trục tọa độ những góc bằng nhau.

302. Tìm phương trình của mặt phẳng, biết rằng điểm $P(4;-3;12)$ là chân đường thẳng góc hạ từ gốc tọa độ xuống mặt phẳng đó.

303. Tìm phương trình các mặt phẳng đi qua các trục tọa độ và thẳng góc với mặt phẳng $3x-4y+5z-12=0$.

304. Tìm phương trình mặt phẳng, mà các điểm của nó cách đều hai điểm $P(1;-4;2)$ và $Q(7;1;-5)$.

305. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $P(0;2;0),Q(2;0;0)$ và tạo với mặt phẳng $x=0$ góc $60^0$.

306. Tính góc giữa các mặt phẳng đi qua điểm $M(1;-1;-1)$, trong đó một mặt chứa trục $Ox$, mặt kia chứa trục $Oz$.

307. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và các điểm $P(4;-2;1),Q(2;4;-3)$.

308. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của ba mặt phẳng $2x+2y+z-7=0,2x-y+3z-3=0,4x+5y-2z-12=0$ và các điểm $M(0;3;0),N(1;1;1)$.

309. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $x+5y+9z-13=0,3x-y-5z+1=0$ và qua điểm $M(0;2;1)$.

310. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $x+2y+3z-5=0,3x-2y-z+1=0$ và chắn trên các trục $Ox,Oz$ những đoạn bằng nhau.

311. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $(1+\sqrt{2})x+2y+2z-4=0,x+y+z+1=0$ và tạo với mặt phẳng tọa độ $xOy$ góc $60^0$.

312. Lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của các mặt phẳng $2x-y-12z-3=0,3x+y-7z-2=0$ và thẳng góc với mặt phẳng $x+2y+5z-1=0$.

313. Lập phương trình mặt phẳng đi qua gioa tuyến của các mặt phẳng $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ và qua gốc tọa độ.

314. Lập phương trình mặt phẳng đi qua đi qua điểm $M(0;2;1)$ và song song với các vectơ $\vec{a}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k},\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$.

315. Vectơ $\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}$ lập với mặt phẳng $x+y+2z-4=0$ một góc bằng bao nhiêu ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 14-02-2019 - 05:39

[tritanngo99]

2. Đường thẳng.

1) Đường thẳng có thể cho bởi các phương trình của hai mặt phẳng: $\left\{\begin{array}{I} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array}\right.$ cắt nhau theo đường thẳng này.

2) Bằng cách lần lượt khử $x$ và $y$ từ các phương trình trên, ta được các phương trình $x=az+c,y=bz+d$. Ở đây đường thẳng được xác định bởi hai mặt phẳng chiếu nó lên các mặt $xOz$ hay $yOz$.

3) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $M_1(x_1;y_1;z_1)$ và $M_2(x_2;y_2;z_2)$ có dạng: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}(1)$

4) Cái gọi là các phương trình chính tắc: $\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}(2)$.

xác định đường thẳng đi qua điểm $M_1(x_1;y_1;z_1)$ và song song với vectơ $\vec{s}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}$. Đặc biệt các phương trình này có thể viết dưới dạng $\frac{x-x_1}{cos \alpha}=\frac{y-y_1}{cos \beta}=\frac{z-z_1}{cos \gamma}$, trong đó $\alpha,\beta,\gamma$ là các góc tạo nên bởi đường thẳng với các trục tọa độ. Các coooossin chỉ hướng của đường thẳng tìm được theo các công thức: $cos \alpha=\frac{l}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}},cos \beta=\frac{m}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}, cos \gamma=\frac{n}{\sqrt{}l^2+m^2+n^2}(3)$

5) Nếu đưa vào tham số $t$, ta dễ dàng chuyển các phương trình chính tắc của đường thẳng thành các phương trình tham số của chúng: $\left\{\begin{array}{I} x=lt+x_1\\ y=mt+y_1\\ z=nt+z_1\end{array}\right.(4)$

6) Góc giữa hai đường thẳng cho bởi các phương trình chính tắc $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$ và $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$ được xác định theo công thức: $cos \phi=\frac{l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}(5)$ điều kiện song song của hai đường thẳng: $\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}(6)$ điều kiện thẳng góc của hai đường thẳng $l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0(7)$.

7) Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cho bởi các phương trình chính tắc cùng nằm trong một mặt phẳng (điều kiện đồng phẳng của hai đường thẳng): 

$\begin{align*}\begin{vmatrix} x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ l_1&m_1&n_1\\ l_2&m_2&n_2\end{vmatrix}\end{align*}=0(8)$

  Nếu các đại lượng $l_1,m_1,n_1$ không tỷ lệ với các đại lượng $l_2,m_2,n_2$ thì hệ thức trên là điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng trong không gian cắt nhau.

8) Góc giữa đường thẳng $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$ và mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ được xác định theo công thức.

  $sin \phi=\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{l^2+m^2+n^2}}(9)$ điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng: $Al+Bm+Cn=0(10)$.

điều kiện để đường thẳng thẳng góc với mặt phẳng: $\frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}(11)$.

9) Để xác định giao điểm của đường thẳng $\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ với mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ ta phải giải đồng thời các phương trình của chúng, muốn vậy ta dùng các phương trình tham số của đường thẳng $x=lt+x_0,y=mt+y_0,z=nt+z_0$

a) nếu $Al+Bm+Cn\ne 0$ thì đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm;

b) nếu $Al+Bm+Cn=0$ và $Ax_0+By_0+Cz_0+D\ne 0$ thì đường thẳng song song với mặt phẳng.

c) nếu $Al+Bm+Cn=0$ và $Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$ thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

Các ví dụ:

316.Đưa phương trình đường thẳng: $\left\{\begin{array}{I} 2x-y+3z-1=0\\ 5x+4y-z-7=0\end{array}\right.$ về dạng chính tắc.

Giải. Phương pháp thứ nhất. 

Đầu tiên khử $y$ rồi sau đó khử $z$ ta được: $13x+11z-11=0,17z+11y-22=0$.

Giải mỗi phương trình đối với $x$ ta có: $x=\frac{11(y-2)}{-17}=\frac{11(z-1)}{-13}$.

từ đó: $\frac{x}{-11}=\frac{y-2}{17}=\frac{z-1}{13}$.

Phương pháp thứ hai.

Ta tìm vectơ $\vec{s}=l\vec{i}+m\vec{j}+n\vec{k}$ song song với đường thẳng cần tìm. Vì nó phải thẳng góc với các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho $\vec{N_1}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$ và $\vec{N_2}=5\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k}$, nên có thể xem nó là tích vectơ của các vectơ $\vec{N_1}$ và $\vec{N_2}$.

$\vec{s}=\vec{N_1}x\vec{N_2}=\begin{align*}\begin{vmatrix} i&j&k\\ 2&-1&3\\ 5&4&-1\end{vmatrix}\end{align*}=-11\vec{i}+17\vec{j}+13\vec{k}$.

Vì vậy $l=-11;m=17;n=13$.

  Để làm điểm $M_1(x_1;y_1;z_1)$ mà đường thẳng cần tìm đi qua, ta có thể lấy giao điểm của nó với mặt phẳng tọa độ bất kỳ, chẳng hạn với mặt $yOz$.Vì khi đó $x_1=0$ nên các tọa độ $y_1$ và $z_1$ của điểm này được xác định từ hệ phương trình của các mặt phẳng đã cho nếu trong đó ta đặt $x=0:\left\{\begin{array}{I} -y+3z-1=0,\\ 4y-z-7=0 \end{array}\right.$

Giải hệ này ta được $y_1=2;z_1=1$.

 Vậy đường thẳng cần tìm được xác định bởi các phương trình $\frac{x}{-11}=\frac{y-2}{17}=\frac{z-1}{13}$.

317. Dựng đường thẳng $\left\{\begin{array}{I} 2x+3y+3z-9=0\\ 4x+2y+z-8=0 \end{array}\right.$

Giải. Có thể dựng đường thẳng cần tìm như dựng giao tuyến của các mặt phẳng.

  Muốn vậy ta viết phương trình các mặt phẳng xác định đường thẳng theo các đoạn chắn trên các trục: $\frac{x}{4,5}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1,\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{8}=1$.

 Dựng các mặt phẳng đã cho, đường thẳng cần tìm chính là giao tuyến của các mặt phẳng này (h.20).

Hình 20.

318. Từ gốc tọa độ hạ đường thẳng góc với đường thẳng $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-3}{1}$.

Giải. Áp dụng điều kiện thẳng góc của đường thẳng và mặt phẳng $(11)$ và đặt $A=l,b=m,C=n,D=0$, ta lập phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và thẳng góc với đường thẳng cho trước. Phương trình này có dạng $2x+3y+z=0$.

Ta tìm giao điểm của mặt phẳng này với đường thẳng đã cho. Các phương trình tham số của đường thẳng có dạng: $\left\{\begin{array}{I} x=2t+2\\ y=3t+1\\ z=t+3\end{array}\right.$

  Để xác định $t$ ta có phương trình: $2(2t+2)+3(3t+1)+t+3=0$.

Do đó $t=\frac{-5}{7}$. Các tọa độ của giao điểm là $x=\frac{4}{7},y=\frac{-8}{7},z=\frac{16}{7}$, nghĩa là $M(\frac{4}{7};\frac{-8}{7};\frac{16}{7})$.

  Còn phải lập phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm $M$; dùng hệ thức $(1)$, ta được: 

$\frac{x}{\frac{4}{7}}=\frac{y}{\frac{-8}{7}}=\frac{z}{\frac{16}{7}}$ hay $\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{4}$.

319. Xác định tham số $n$ trong phương trình đường thẳng $\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{n}$ sao cho đường thẳng này cắt đường thẳng $\frac{x+1}{3}=\frac{y+5}{2}=\frac{z}{1}$ và tìm giao điểm của chúng.

Giải. Để tìm tham số $n$ ta dùng điều kiện cắt nhau của hai đường thẳng $(8)$; đặt $x_1=-1,y_1=-5,z_1=0,x_2=0,y_2=0,z_2=0,l_1=3,m_1=2,n_1=1,l_2=2,m_2=-3,n_2=n$, ta được: 

$\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&5&0\\ 3&2&1\\ 2&-3&n \end{vmatrix}\end{align*}=0$,

hay $2n+10+3-15n=0$ nghĩa là $n=1$.

 Để tìm các tọa độ của giao điểm của các đường thẳng $\frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{1}$ và $\frac{x+1}{3}=\frac{y+5}{2}=\frac{z}{1}$ từ phương trình thứ nhất ta biểu diễn $x$ và $y$ qua $z$ : $x=2z,y=-3z$. Thay các giá trị của chúng vào đẳng thức: $\frac{x+1}{3}=\frac{y+5}{2}$, ta có $\frac{2z+1}{3}=\frac{-3z+5}{2}$, từ đó $z=1$. Biết $z$ ta tìm được $x$ và $y,x=2z=2,y=-3z=-3$.

 Do đó $M(2;-3;1)$.

320. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(3;2;-1)$ và cắt trục $Ox$ dưới một góc vuông.

Giải. Vì đường thẳng trực giao với trục $Ox$ và cắt có, nên phải đi qua điểm $N(3;0;0)$. Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm $M$ và $N$ ta được: $\frac{x-3}{0}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{1}$.

321. Cho mặt phẳng $x+y-2x-z+6=0$ và điểm $M(1;1;1)$ ở ngoài nó. Tìm điểm N$ đối xứng với điểm $M$ qua mặt phẳng đã cho.

Giải. Ta viết phương trình đường thẳng bất kỳ đi qua điểm $M$: $\frac{x-1}{l}=\frac{y-1}{m}=\frac{z-1}{n}$.

Tọa độ $\left\{l;m;n\right\}$ của vectơ chỉ hướng của đường thẳng trực giao với mặt phẳng có thể thay bằng tọa độ của vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\left\{1;1;-2\right\}$ của mặt phẳng đã cho.

 Khi đó phương trình đường thẳng cần tìm được viết dưới dạng $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2}$.

  Ta tìm hình chiếu của điểm $M$ trên mặt phẳng đã cho bằng cách giải đồng thời các phương trình $x+y-2z+6=0$ và $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2}$; muốn thế ta viết phương trình đường thẳng dưới dạng $x=t+1,y=t+1,z=-2t+1$.

 Thay các giá trị này của $x,y$ và $z$ vào phương trình mặt phẳng, ta được $t=1$, từ đó $x=2,y=2,z=-1$.

Các tọa độ của điểm đối xứng tìm được từ các công thức: $\overline{x}=\frac{x_M+x_N}{2},\overline{y}=\frac{y_M+y_N}{2},\overline{z}=\frac{z_M+z_N}{2}$ nghĩa là $2=\frac{1+x_N}{2},2=\frac{1+y_N}{2},-1=\frac{1+z_N}{2}$ từ đó $x_N=3,y_N=3,z_N=-3$. Do đó $N(3;3;-3)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 17-02-2019 - 15:23

[tritanngo99]

322. Cho đường thẳng $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}$ và điểm $M(1;1;1)$ ở ngoài nó. Tìm điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua đường thẳng đã cho.

Giải. Ta lập phương trình mặt phẳng chiếu điểm $M$ lên đường thẳng đã cho dưới dạng: $A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0$.

Tọa độ của vectơ pháp tuyến $\left\{A;B;C\right\}$ của mặt phẳng trực giao với đường thẳng thay bằng tọa độ của vectơ chỉ hướng $\left\{2;3;-1\right\}$ của đường thẳng đã cho, khi đó ta được phương trình của mặt phẳng $2(x-1)+3(y-1)-(z-1)=0$ hay $2x+3y-z-4=0$.

  Ta tìm hình chiếu của điểm $M$ trên đường thẳng, muốn thế phải giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{array}{I} 2x+3y-z-4=0\\ \frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1} \end{array}\right.$

Phương trình tham số của đường thẳng đã cho là $x=2t+1,y=3t, z=-t-1$. Thay $x,y$ và $z$ vào phương trình mặt phẳng ta được $t=\frac{1}{14}$. Từ đó $x=\frac{8}{7},y=\frac{1}{14},z=-\frac{15}{14}$.

  Khi đó có thể tìm tọa độ của điểm đối xứng theo các công thức tính tọa độ của điểm giữa của đoạn thẳng, nghĩa là: $\frac{8}{7}=\frac{1+x_N}{2},\frac{3}{14}=\frac{1+y_N}{2},-\frac{15}{14}=\frac{1+x_N}{2}$, từ đó $x_N=\frac{9}{7},y_N=-\frac{4}{7},z_N=-\frac{22}{7}$. Do đó $N(\frac{9}{7};\frac{-4}{7};\frac{-22}{7})$.

Qua đường thẳng $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{3}$ dựng mặt phẳng song song với đường thẳng $\frac{x}{-1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-3}$.

Giải. Ta viết phương trình của đường thẳng đã cho thứ nhất qua phương trình của hai mặt phẳng chiếu nó tương ứng lên các mặt $xOy$ và $yOz$: $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}$ hay $x+2y-1=0$, $\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{3}$ hay $3y+z-5=0$.

Phương trình chùm mặt phẳng đi qua đường thẳng có dạng $x+2y-1+\lambda(3y+z-5)=0$, hay $x+(2+3\lambda)y+\lambda-(1+5\lambda)=0$.

Áp dụng điều kiện song song của đường thẳng và mặt phẳng, ta xác định $\lambda$ sao cho mặt phẳng tương ứng của chùm song song với đường thẳng đã cho thứ hai.

  Ta được: $-1.1+2(2+3\lambda)-3\lambda=0$ hay $3\lambda+3=0$, từ đó $\lambda=-1$. Vì vậy mặt phẳng cần tìm được xác định bởi phương trình $x-y-z+4=0$.

324. Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ trên mặt phẳng $x+y+2z-5=0$.

Giải. Ta viết phương trình đường thẳng đã cho dưới dạng các phương trình của hai mặt phẳng chiếu nó tương ứng lên các mặt $xOy$ và $xOz$: $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}$ hay $2x-y-3=0$, $\frac{x-1}{1}=\frac{z}{3}$ hay $3x-z=3=0$.

 Phương trình chùm mặt phẳng đi qua đường thẳng đã cho có dạng $2x-y-3+\lambda(3x-z-3)=0$ hay $(2+3\lambda)x-y-\lambda z-3(1+\lambda)=0$.

 Ta chọn trong chùm này mặt phẳng chiếu đường thẳng đã cho lên mặt phẳng đã cho bằng cách sử dụng điều kiện trực giao của các mặt phẳng. Ta tìm được $1(2+3\lambda)+1(-1)+2(-\lambda)=0$ hay $\lambda+1=0$, từ đó $\lambda=-1$. Vậy mặt chiếu là mặt phẳng: $2x-y-3+(-1)(3x-z-3)=0$ hay $x+y-z=0$.

  Hình chiếu có thể xác định như giao tuyến của mặt phẳng đã cho và mặt phẳng chiếu: $\left\{\begin{array}{I} x+y+2z-5=0\\ x+y-z=0\end{array}\right.$

  Đưa các phương trình này của đường thẳng về dạng chính tắc, cuối cùng ta được: $\frac{x}{1}=\frac{y-\frac{5}{3}}{-1}=\frac{z-\frac{5}{3}}{0}$.

325. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(5;3;4)$ và song song với vectơ $\vec{s}=2\vec{i}+5\vec{j}-8\vec{k}$.

Giải. Sử dụng phương trình chính tắc của đường thẳng. Đặt vào đẳng thức $(2)l=2,m=5,n=-8$, ta được: $\frac{x-5}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-4}{-8}$.

326. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1;1;1)$ và thẳng góc với các vectơ $\vec{s_1}=2\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k},\vec{s_2}=3\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$.

Giải. Đường thẳng song song với vectơ $\vec{s_1}x\vec{s_2}=5\vec{i}-\vec{j}-7\vec{k}$, vì vậy nó được xác định bởi phương trình $\frac{x-1}{5}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-7}$.

327. Tìm phương trình các hình chiếu của đường thẳng $\left\{\begin{array}{I} x+2y+3z-36=0\\ 3x+y+4z-14=0\end{array}\right.$

328. Đưa phương trình đường thẳng $\left\{\begin{array}{I} 2x+3y-16z-7=0\\ 3x+y-17z=0\end{array}\right.$ về dạng chính tắc.

329. Tính các góc tạo nên bởi đường thẳng $\left\{\begin{array}{I} x-2y-5=0\\ x-3z+8=0 \end{array}\right.$ với các trục tọa độ.

330. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1;-2;3)$ và lập với các trục $Ox$ và $Oy$ các góc $45^0$ và $60^0$.

331. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm $N(5;-1;-3)$ và song song với đường thẳng: $\left\{\begin{array}{I} 2x+3y+z-6=0\\ 4x-5y-z+2=0 \end{array}\right.$

332. Tìm giao điểm của các đường thẳng $\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{5}=\frac{z+4}{2}$ và $\frac{x-2}{2}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-1}{3}$/

333. Cho ba đỉnh liên tiếp của hình bình hành: $A(3;0;-1),B(1;2;-4)$ và $C(0;7;-2)$. Tìm phương trình các cạnh $AD$ và $CD$.

334. Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua các điểm $M(2;-5;1)$ và $N(-1;1;2)$.

335. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng song song $\frac{x}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{1}$ và $\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$.

336. Cho các điểm $A(-1;2;3)$ và $B(2;-3;1)$. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(3;-1;2)$ và song song với $\vec{AB}$.

337. Tìm góc giữa các đường thẳng $\left\{\begin{array}{I} 4x-y-z+12=0\\ y-z-2=0\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} 3x-2y+16=0 \\ 3x-z=0\end{array}\right.$

338. Trong mặt phẳng $yOz$ tìm đường thẳng đi qua gốc tọa độ và thẳng góc với đường thẳng $\left\{\begin{array} 2x-y=2\\ y+2z=-2 \end{array}\right.$

339. Cho hai đỉnh của hình bình hành $ABCD$: $C(-2;3;-5)$ và $D(0;4;-7)$ và giao điểm của các đường chéo $M(1;2;-3.5)$. Tìm phương trình cạnh $AB$.

340. Tam giác $ABC$ tạo nên bởi mặt phẳng $x+2y+4z-8=0$ cắt các trục tọa độ. Tìm phương trình đường trung bình của tam giác song song với mặt $xOy$.

341. Cho các điểm $A(1;1;1),B(2;3;3)$ và $C(3;3;2)$. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và thẳng góc với các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

342. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(0;2;1)$ và tạo với các vectơ $\vec{a}=\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k},\vec{b}=3\vec{j},\vec{c}=3\vec{k}$ những góc bằng nhau.

343. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng $\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{4}$ và thẳng góc với mặt phẳng $3x+y-z+2=0$.

344. Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng $\frac{x}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-2}{-2}$ lên mặt phẳng $2x+3y-z-5=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 25-02-2019 - 08:49

[tritanngo99]

Phần 2. CÁC MẶT BẬC HAI.

1. Mặt cầu. 

Trong hệ tọa độ đềcác, mặt cầu có tâm tại điểm $C(a;b;c)$ và bán kính $r$ được xác định bởi phương trình $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2(1)$

  Nếu tâm mặt cầu nằm tại gốc tọa độ, thì phương trình của nó có dạng $x^2+y^2+z^2=r^2(2)$.

Các ví dụ:

345. Tìm tọa độ của tâm và bán kính mặt cầu cho bởi phương trình $x^2+y^2+z^2-x+2y+1=0$.

Giải. Ta đưa phương trình mặt cầu về dạng chính tắc $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$, muốn vậy ta bổ sung thành các số hạng chính phương chứa $x,y$ và $z$, nghĩa là viết phương trình dưới dạng sau: 

$(x^2-x+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}+(y^2+2y+1)-1+z^2+1=0$ hay $(x-\frac{1}{2})^2+(y+1)^2+z^2=\frac{1}{4}$.

Do đo tâm mặt cầu là điểm $C(\frac{1}{2};-1;0)$ và bán kính của nó là $r=\frac{1}{2}$.

346. Lập phương trình mặt cầu đi qua các điểm $A(1;2;-4),B(1;-3;1),C(2;2;3)$ và tâm của nó nằm trên mặt phẳng $xOy$.

Giải. Vì các điểm $A,B,C$ nằm trên mặt cầu $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$ với tâm nằm trong mặt phẳng $xOy(c=0)$, nên các tọa độ của chúng phải biến phương trình cần tìm thành đồng nhất thức; ta đi tới các phương trình:

 $\left\{\begin{array}{I} (1-a)^2+(2-b)^2+(-4)^2=r^2\\ (1-a)^2+(-3-b)^2+1^2=r^2\\ (2-a)^2+(2-b)^2+3^2=r^2\end{array}\right.$

Từ đó: $\left\{\begin{array}{I} (1-a)^2+(2-b)^2+16=(1-a)^2+(-3-b)^2+1\\ (1-a)^2+(2-b)^2+16=(2-a)^2+(2-b)^2+9\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{I} (2-b)^2-(-3-b)^2=-15\\ (1-a)^2-(2-a)^2=-7\end{array}\right.$

$\iff (a;b)=(2;1)$. Do đó tâm mặt cầu là điểm $C(-2;1;0)$. Ta tìm bán kính mặt cầu:

$r^2=(1-a)^2+(2-b)^2+16=(1+2)^2+(2-1)^2+16=26$.

Do đó phương trình cần tìm có dạng: $(x+2)^2+(y-1)^2+z^2=26$.

347. Tìm các tọa độ của tâm và bán kính của đường tròn.

$\left\{\begin{array}{I} (x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=100\\ 2x-2y-z+9=0\end{array}\right.$

Giải. Từ tâm mặt cầu $C(3;-2;1)$ ta hạ xuống mặt phẳng $2x-2y-z+9=0$ đường thẳng góc mà phương trình của nó có thể viết dưới dạng: $\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}(*)$

( có thể lấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho làm vectơ chỉ hướng của đường thẳng góc đó).

 Bây giờ ta tìm tọa độ của giao điểm của đường thẳng $(*)$ với mặt phẳng $2x-2y-z+9=0$. Điểm này là tâm của đường tròn giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng đã cho.

 Ta lấy phương trình tham số của đường thẳng : $x=2t+3,y=-2t-2,z=-t+1$ và tìm $t$ bằng cách thay $x,y,z$ vào phương trình mặt phẳng $2(2t+3)-2(-2t-2)-(-t+1)+9=0$, từ đó $t=-2$.

  Do đó tọa độ của tâm đường tròn là $x=2.(-2)+3=-1,y=-2.(-2)-2=2,z=-(-2)+1=3$, nghĩa là tâm đường tròn nằm tại điểm $C_1(-1;2;3)$.

  Bây giờ ta tìm khoảng cách $d$ từ tâm mặt cầu $C(3;-2;1)$ đến mặt phẳng $2x-2y-z+9=0: d=\frac{|2.3+2.2-1+9|}{\sqrt{2^2+2^2+1}}=6$.

Bán kính $r$ của đường tròn được xác định từ đẳng thức $r^2=R^2-d^2$, trong đó $R$ là bán kính mặt cầu; vì vậy $r^2=100-36=64$, tức là $r=8$.

348. Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu cho bởi các phương trình:

1) $(x+1)^2+(y+2)^2+z^2=25$;

2) $x^2+y^2+z^2-4x+6y+2z-2=0$;

3) $2x^2+2y^2+2z^2+4y-3z+2=0$;

4) $x^2+y^2+z^2=2zx$;

5) $x^2+y^2+z^2=4z-3$.

349. Điểm $M(1;-1;3)$ có vị trí như thế nào đối với các mặt cầu: 

1) $(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=19$.

2) $x^2+y^2+z^2-x+y=0$;

3) $x^2+y^2+z^2-4x+y-2z=0$.

350. Lập phương trình mặt cầu, nếu các điểm $M(4;-1;-3)$ và $N(0;3;-1)$ là các đầu mút của một đường kính của mặt cầu đó.

351. Lập phương trình đường tròn do mặt cầu $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=25$ cắt mặt phẳng tọa độ $z=0$ tạo thành.

352. Tìm tọa độ của tâm và bán kính của đường tròn $x^2+y^2+z^2=100,2x+2y-z=18$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 25-02-2019 - 08:47

[tritanngo99]

2. Mặt trụ và mặt nón bậc hai.

  Trong không gian, phương trình $F(x,y)=0$ xác định một mặt trụ có đường sinh song song với trục $Oz$. Tương tự, phương trình $F(x,z)=0$ xác định mặt trụ có đường sinh song song với trục $Oy$ và $F(y,z)=0$ xác định mặt trụ có đường sinh song song với trục $Ox$.

  Phương trình chính tắc của các mặt trụ bậc hai:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ - mặt trụ êlip.

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ - mặt trụ hypebôn,

$y^2=2px$ - mặt trụ parabôn.

  Các đường sinh của cả ba mặt trụ xác định bởi các phương trình này đều song song với trục $Oz$ còn đường hướng là các đường bậc hai tương ứng (êlip, hypebôn, parabôn) nằm trong mặt phẳng $xOy$.

  Cần nhớ rằng đường trong không gian có thể cho hoặc bằng tham số, hoặc dưới dạng giao tuyến của hai mặt nhờ phương trình của các mặt đó.

  Chẳng hạn, phương trình đường hướng của mặt trụ êlip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, nghĩa là phương trình êlip trong mặt phẳng $xOy$, là các phương trình: $\left\{\begin{array}{I} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ z=0 \end{array}\right.$

  Phương trình mặt nón bậc hai với đỉnh tại gốc tọa độ, trục của nó là trục $Oz$, có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$.

 Tương tự, các phương trình $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0,-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$ là phương trình các mặt nón bậc hai với đỉnh tại gốc tọa độ, trục của chúng tương ứng là trục $Oy$ và $Ox$.

353. Các phương trình 

1) $x^2=4y$

2) $z^2=xz$ 

xác định những mặt gì trong không gian ?

Giải.

1) Phương trình $x^2=4y$ xác định mặt trụ parabôn với các đường sinh song song với trục $Oz$. Đường hướng của mặt trụ là parabôn $x^2=4y,z=0$.

2) Phương trình $z^2=zx$ có thể biểu diễn dưới dạng $z(z-x)=0$ và phân thành hai: $z=0$ và $z=x$, nghĩa là nó xác định hai mặt phẳng - mặt phẳng $xOy$ và mặt phẳng phân giác $z=x$ đi qua trục $Oy$.

354. Mặt nón $x^2+y^2-2z^2=0$ cắt mặt phẳng $y=2$ theo đường gì?

Giải. Khử $y$ từ hệ phương trình ta được: $x^2+4-2z^2=0$ hay $\frac{z^2}{2}-\frac{x^2}{4}=1$.

 Do đó giao tuyến cần tìm là hypebôn nằm trong mặt phẳng $y=2$ và có trục thực song song với trục $Oz$ và trục ảo song song với trục $Ox$.

355. Lập phương trình mặt nón có đỉnh nằm tại điểm $M(0;0;1)$ và đường hướng là elip $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1,z=3$.

Giải. Ta lập phương trình đường sinh $AM$, trong đó $M(0;0;1)$ còn $A(x_0;y_0;z_0)$ là điểm trên elip. Phương trình đường sinh này có dạng: $\frac{x}{x_0}=\frac{y}{y_0}=\frac{z-1}{z_0-1}$.

Vì điểm $A$ nằm trên elip nên các tọa độ của nó thỏa mãn phương trình elip: $\frac{x_0^2}{25}+\frac{y_0^2}{9}=1,z_0=3$.

Bây giờ khử $x_0,y_0,z_0$ từ hệ: $\frac{x}{x_0}=\frac{z-1}{z_0-1},\frac{y}{y_0}=\frac{z-1}{z_0-1},\frac{x_0^2}{25}+\frac{y_0^2}{9}=1,z_0=3$ ta được phương trình cần tìm của mặt nón: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}-\frac{(z-1)^2}{4}=0$.

356. Các phương trình sau đây xác định những mặt gì? Dựng các mặt đó:

1) $x^2+y^2=4$

2) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

3) $x^2-y^2=1$.

4) $y^2=2x$

5) $z^2=y$

6) $z+x^2=0$

7) $x^2+y^2=2y$.

8) $x^2+y^2=0$

9) $x^2-z^2=0$

10) $y^2=xy$.

357. Lập phương trình giao tuyến của mặt nón $x^2-y^2+z^2=0$ với các mặt phẳng:

1) $y=3$

2) $z=1$

3) $x=0$.

358. Lập phương trình các mặt nón có đỉnh tại gốc tọa độ và đường hướng ngược cho bởi các phương trình: 

1) $x=a;y^2+z^2=b^2$

2) $y=b;x^2+z^2=a^2$

3) $z=c;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

[tritanngo99]

3. Mặt tròn xoay. Các mặt bậc hai

  Nếu đường cong nằm trong mặt phẳng $yOz$ có phương trình $F(y,z)=0,x=0$ quay quanh trục $Oz$ thì phương trình mặt tròn xoay do nó tạo ra có dạng $F(\sqrt{x^2+y^2},z)=0$.

  Tương tự, phương trình $F(x,\sqrt{y^2+z^2})=0$ xác định mặt được tạo ra khi quay đường $F(x,y)=0,z=0$ quanh trục $Ox$; phương trình $F(\sqrt{x^2+z^2},y)=0$ xác định mặt được tạo ra khi quay đường cong trên quanh trục $Oy$.

  Ta đưa phương trình các mặt tròn xoay bậc hai được tạo ra khi quay êlip, hypebôn và parabôn quanh các trục đối xứng của chúng.

 Êlipxôit tròn xoay: $\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$; trục quay là trục $Oz$; êlipxôit dẹt khi $a>c$ và thuôn khi $a<c$ (Khi $a=c$ êlipxôit trở thành mặt cầu).

  Hypebôlôit tròn xoay một tầng: $\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$; trục quay là trục $Oz$ (trục ảo của hypebôn tạo ra mặt khi quay).

  Hypebôlôit tròn xoay hai tầng: $\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$;

 trục quay là trục $Oz$ (trục thực của hypebôn tạo ra mặt này khi quay).

  Parabôlôit tròn xoay $x^2+y^2=2pz$ trục quay là trục $Oz$.

  Mặt tròn xoay bậc hai là các trường hợp riêng của các mặt bậc hai dạng tổng quát có phương trình chính tắc sau:

Êlipxôit (ba trục): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$.

Hypebôlôit một tầng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$.

Hypebôlôit hai tầng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$.

Parabôlôit êliptic: $\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z(p>0,q>0)$.

  Ngoài bốn mặt bậc hai này, ba mặt trụ bậc hai (trụ êlip, trụ hypebôn và trụ parabôn) và mặt nón bậc hai còn có mặt bậc hai nữa - parabôlôit hypebôlôit, mà phương trình chính tắc của nó có dạng sau: $\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=2z(p>0,q>0)$.

  Như vậy có tất cả chín mặt bậc hai khác nhau.

Các ví dụ: 

359. Tìm phương trình của mặt nhận được khi quay đường thẳng $x+2y=4,z=0$ quanh trục $Ox$.

Giải. Mặt tròn xoay là mặt nón có đỉnh tại điểm $M(4;0;0)$. Giả sử điểm $A$ bất kỳ của mặt cầu cần tìm có các tọa độ $X,Y,Z$ và điểm tương ứng với nó trên đường thẳng đã cho là $B(x;y;0)$. Các điểm $A$ và $B$ cùng nằm trong mặt phẳng thẳng góc với trục quay $Ox$. Khi đó $X=x,Y^2+Z^2=y^2$.

  Thay các giá trị của $x,y$ vào phương trình đường thẳng đã cho, ta được phương trình mặt tròn xoay cần tìm: $X+2\sqrt{Y^2+Z^2}=4$,

hay $4(Y^2+Z^2)-(X-4)^2=0$ hay $4Y^2+4Z^2-(X-4)^2=0$.

360. Phương trình $x^2=yz$ xác định mặt gì ?

Giải. Quay các trục tọa độ quanh trục $Ox$ một góc $\alpha=45^0$ (từ trục $Oy$ đến trục $Oz$ ngược chiều kim đồng hồ), ta có các công thức biến đổi tọa độ: $x=x',y=y'cos\alpha-z'sin \alpha;z=y'sin \alpha+z'cos \alpha$. Vì $sin \alpha=cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $x=x';y=\frac{\sqrt{2}}{2}(y'-z'),z=\frac{\sqrt{2}}{2}(y'+z')$. Thay các giá trị này vào phương trình của mặt ta được $x'^2=\frac{y'^2}{2}-\frac{z'^2}{2}$ hay $x'^2-\frac{y'^2}{2}+\frac{z'^2}{2}=0$.

(mặt nón có đỉnh tại gốc tọa độ và trục là trục tung).

361. Tìm phương trình của mặt nhận được khi quay đường thẳng $2y+z-2=0,x=0$ quanh trục $Oz$.

362. Tìm phương trình giao tuyến của mặt $z=x^2-y^2$ với các mặt phẳng $z=1,y=1,x=1,z=-1$.

363. Các phương trình sau đây xác định những mặt gì: 

1) $z=xy$

2) $z^2=xy$.

Hướng dẫn: thực hiện phép quay góc $45^0$ quanh trục $Oz$

364. Tìm phương trình parabôlôit êliptic có đỉnh tại gốc tọa độ, trục là trục $Oz$ và cho trước hai điểm $M(-1;-2;2)$ và $N(1;1;1)$ trên mặt của nó.

365. Lập phương trình êlipxôit có các trục đối xứng là các trục tọa độ và ba điểm $A(3;0;0),B(-2;\frac{5}{3};0),C(0;-1;\frac{2}{\sqrt{5}})$ nằm trên mặt đó.

366. Tìm phương trình giao tuyến của các mặt $z=2-x^2-y^2$ và $z=x^2+y^2$.

367. Phương trình $z^2+x^2=m(z^2+y^2)$ xác định những mặt gì khi:

1) $m=0$

2) $0<m<1$

3) $m>1$

4) $m<0$

5)$m=1$.  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 28-02-2019 - 21:14

[tritanngo99]

4. Phương trình tổng quát của mặt bậc hai.

  Phương trình bậc hai tổng quát đối với $x,y$ và $z$ có dạng: $Ax^2+By^2+Cz^2+2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx+2Hy+2Kz+L=0$.

Phương trình này có thể xác định mặt cầu, êlipxôit, hypebôlôit một hoặc hai tầng, parabôlôit êliptic hoặc parabôlôit hypebôlic, mặt trụ hoặc mặt nón bậc hai. Phương trình này cũng có thể xác định cặp mặt phẳng, điểm, đường thẳng hoặc thậm chí không có ý nghĩa hình học (xác định mặt <<ảo>>).

Khi $D=0,E=0,F=0$ phương trình này có dạng: $Ax^2+By^2+Cz^2+2Gx+2Hy+2Kz+L=0$.

Trong trường hợp này phương trình được rút gọn dễ dàng nhờ phép tịnh tiến song song với các trục tọa độ, cho phép ta xác nhận ngay ý nghĩa hình học của nó.

368. Phương trình $x^2+4y^2+9z^2+12yz+6xz+4xy-4x-8y-12z+3=0$, có ý nghĩa hình học như thế nào?

Giải. Phương trình đã cho có thể viết dưới dạng: $(x+2y+3z)^2-4(x+2y+3z)+3=0\iff (x+2y+3z-1)(x+2y+3z-3)=0$.

Vì vậy phương trình đã cho xác định cặp mặt phẳng: $x+2y+3z-1=0,x+2y+3z=3=0$.

369. Phương trình $x^2+y^2+z^2-yz-xz-xy=0$ có ý nghĩa hình học như thế nào?

Giải. Bằng cách nhân với $2$, ta viết lại phương trình dưới dạng $2x^2+2y^2+2z^2-2yz-2xz-2xy=0$ hay $(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0$.

Chỉ có các điểm có tọa độ thỏa mãn các đẳng thức $x=y,y=z,x=z$ là thỏa mãn phương trình này. Do đó, phương trình này xác định đường thẳng $x=y=z$.

370. Phương trình $x^2+y^2+4z^2-2xy-8z+5=0$ có ý nghĩa hình học như thế nào ?

Giải. Ta viết lại phương trình dưới dạng: $(x-y)^2+4(z-1)^2=-1$.

 Phương trình này không có ý nghĩa hình học, vì vế trái của nó không thể âm với bất kỳ giá trị thực nào của $x,y$ và $z$.

371. Đưa về dạng chính tắc phương tình của mặt $4x^2+9y^2+36z^2-8x-18y-72z+13=0$.

Giải. Ta nhóm các số hạng chứa cùng một tọa độ: $4(x^2-2x)+9(y^2-2y)+36(z^2-2z)=-13$.

 Bổ sung các biểu thức trong ngoặc thành các chính phương: $4(x^2-2x+1)+9(y^2-2y+1)+36(z^2-2z+1)=-13+4+9+36$ hay $4(x-1)^2+9(y-1)^2+36(z-1)^2=36$.

Ta thực hiện phép tịnh tiến song song các trục tọa độ, lấy điểm $O'(1;1;1)$ làm gốc tọa độ mới. Các công thức biến đổi tọa độ có dạng: $x=x'+1,y=y'+1,z=z'+1$.

Ta được phương trình của mặt $4x'^2+9y'^2+36z'^2=36\iff \frac{x'^2}{9}+\frac{y'^2}{4}+z'^2=1$.

 Phương trình này xác định êlipxôit; tâm của nó tại gốc tọa độ mới, các nửa trục tương ứng bằng $3,2$ và $1$.

372.  Đưa về dạng chính tắc phương trình của mặt $x^2-y^2-4x+8y-2z=0$.

Giải. Ta nhóm các số hạng chứa $x$ và $y$ : $(x^2-4x)-(y^2-8y)=2z$.

Bổ sung các biểu thức trong ngoặc thành các chính phương: $(x^2-4x+4)-(y^2-8y+16)=2z+4-16$

hay $(x-2)^2-(y-4)^2=2(z-6)$.

  Ta thực hiện phép tịnh tiến song song các trục tọa độ, lấy điểm $O'(2;4;6)$ làm gốc tọa độ mới. Khi đó: $x=x'+2,y=y'+4,z=z'+6$.

Ta được phương trình $x'^2-y'^2=2z'$ xác định parabôlôit hypebôlôic.

373. Phương trình $4x^2-y^2+4z^2-8x+4y+8z+4=0$ xác định mặt gì?

Giải. Thực hiện các biến đổi tương ứng, ta được: $4(x^2-2x)-(y^2-4y)+4(z^2+2z)=-4$

$4(x^2-2x+1)-(y^2-4y+4)+4(z^2+2z+1)=-4+4-4+4$.

$4(x-1)^2-(y-2)^2+4(z+1)^2=0$.

 Ta thực hiện phép tịnh tiến song song các trục tọa độ, lấy điểm $O'(1;2;-1)$ làm gốc tọa độ mới. Các công thức biến đổi tọa độ $x=x'+1,y=y'+2,z=z'-1$. Phương trình có dạng: $4x'^2-y'^2+4z'^2=0$ hay $x'^2-\frac{y'^2}{4}+z'^2=0$.

Đó là phương trình mặt nón.

Giải thích các phương trình sau đây xác định những mặt gì :

374. $x^2-xy-xz+yz=0$.

375. $x^2+z^2-4x-4z+4=0$.

376. $x^2+2y^2+z^2-2xy-2yz=0$.

377. $x^2+y^2-z^2-2y+2z=0$.

378. $x^2+2y^2+2z^2-4y+4z+4=0$.

379. $4x^2+y^2-z^2-24x-4y+2z+2=0$.

380. $x^2+y^2-z^2-2x-2y+2z+2=0$.

381. $x^2+y^2-6x+6y-4z+18=0$.

382. $9x^2-z^2-18x-18y-6z=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 28-02-2019 - 21:57