Chủ đề này có 3 trả lời

[Toanhochoctoan]

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;3]$ thỏa mãn $f(3)=0, \int_0^3[f'(x)]^2dx=\frac{7}{6}$ và $\int_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx=\frac{-7}{3}$. Tính $\int_0^3f(x)dx$

[caovannct]

Gi

 

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;3]$ thỏa mãn $f(3)=0, \int_0^3[f'(x)]^2dx=\frac{7}{6}$ và $\int_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx=\frac{-7}{3}$. Tính $\int_0^3f(x)dx$

Giả thiết có cho f(0) không bạn. Theo mình chắc phải có f(0)=0 nữa thì bài toán giải được

[Toanhochoctoan]

Gi
 

Giả thiết có cho f(0) không bạn. Theo mình chắc phải có f(0)=0 nữa thì bài toán giải được

ko thấy bạn ơi. Nếu có f(0)=0 bạn giải giúp mình vs

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;3]$ thỏa mãn $f(3)=0, \int_0^3[f'(x)]^2dx=\frac{7}{6}$ và $\int_0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x+1}}dx=\frac{-7}{3}$. Tính $\int_0^3f(x)dx$

Không cần biết $f(0)$ nhưng phải sửa lại dữ kiện sau cùng là $\int _0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\ dx=-\sqrt{21}$ thì mới giải được và khi đó lời giải như sau :

 

Đặt $u=f(x)$ ; $dv=\frac{dx}{\sqrt{x}}$

$\int _0^3\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\ dx=2f(x)\sqrt{x}\Bigg|_0^3-2\int _0^3\sqrt{x}f'(x)dx=-\sqrt{21}\Rightarrow 2\int _0^3\sqrt{x}f'(x)dx=\sqrt{21}$ (1)

Mặt khác $\int _0^3\left [ f'(x) \right ]^2dx=\frac{7}{6}$              (2)

Và $\int _0^3xdx=\frac{9}{2}$                                                    (3)

Gọi $k$ là số thực sao cho $\frac{7}{6}-\sqrt{21}\ k+\frac{9}{2}\ k^2=0\Rightarrow k=\frac{\sqrt{21}}{9}$

Ta có $\int _0^3\left [ f'(x) \right ]^2dx-\frac{2\sqrt{21}}{9}\int _0^3\sqrt{x}f'(x)dx+\frac{7}{27}\int _0^3xdx=0$

$\Leftrightarrow \int _0^3\left [ f'(x)-\frac{\sqrt{21}}{9}\ \sqrt{x} \right ]^2dx=0$

$\Leftrightarrow f'(x)=\frac{\sqrt{21}}{9}\ \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow f(x)=\frac{2\sqrt{21}}{27}\ x^{\frac{3}{2}}-\frac{2\sqrt7}{3}$ (vì $f(3)=0$)

$\Leftrightarrow \int _0^3f(x)dx=\left ( \frac{4\sqrt{21}}{135}\ x^{\frac{5}{2}}-\frac{2\sqrt7}{3}\ x \right )\Bigg|_0^3=-\frac{6\sqrt7}{5}$.