Cho tam đa thức bậc hai $P(x)$ thỏa mãn $x^2-2x+3\leq P(x)\leq 15x^2-30x+17$ với mọi $x$ và $P(13)=2018$. Tính $P(0)$.
Tính $P(0)$
#1
Đã gửi 16-02-2019 - 21:01
#2
Đã gửi 23-08-2021 - 10:11
Đã tìm ra 1 tam thức bậc 2 thỏa yêu cầu bài toán: $ P(x) = 14(x-1)^2 +2$
Còn một công đoạn nữa là chứng minh đây là đa thức duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
#3
Đã gửi 23-08-2021 - 10:37
$(x-1)^2+2\leq P(x)\leq 15(x-1)^2+2$ nên $2\leq P(1)\leq 2$.
Chắc là phán được $P(x)$ có đỉnh parabol tại $(1,2)$.
Suy ra $P(x)=a(x-1)^2+2$.
Thế vô được $a=14$.
P/S: Chỗ phán sao sao í @@ cảm giác không ổn lắm!
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#4
Đã gửi 23-08-2021 - 11:08
$(x-1)^2+2\leq P(x)\leq 15(x-1)^2+2$ nên $2\leq P(1)\leq 2$.
Chắc là phán được $P(x)$ có đỉnh parabol tại $(1,2)$.
Suy ra $P(x)=a(x-1)^2+2$.
Thế vô được $a=14$.
P/S: Chỗ phán sao sao í @@ cảm giác không ổn lắm!
$(x-1)^2+2\leq P(x)$ nên $min[(x-1)^2+2]\leq P(x)$
mà $min[(x-1)^2+2] =2$ và $P(1) =2$ nên $P(x)$ có GTNN tại $(1,2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi youknower: 23-08-2021 - 11:10
#5
Đã gửi 31-08-2021 - 22:28
Theo đề bài ta có $\left ( x-1 \right )^2\leq P(x)-2\leq 15\left ( x-1 \right )^2$ với mọi $x$ (*)
Cho $x=1$ thì $0 \leq P(1)-2 \leq 0$ suy ra $P(1)=2$
Đặt $G(x)=P(x)-2$ nên $degG=degP=2$ và $G(1)=P(1)-2=0$ hay $1$ là nghiệm của $G(x)$
Khi đó $G(x)$ được viết lại thành $G(x)=a(x-1)(x-b)$ với $a,b \in \mathbb{R} $
Từ (*) ta có $\left ( x-1 \right )^2\leq a(x-1)(x-b), \forall x$ hay $\left ( x-1 \right )\left ( \left ( a-1 \right )x+1-ab \right )\geq 0 , \forall x$ (**)
Từ (**) cho $x=b$ ta có $-(b-1)^2 \geq 0$ suy ra $b=1$, do đó $G(x)=a(x-1)^2$
Ta lại có $2016=P(13)-2=G(13)=144a$ suy ra $a=14$
Khi đó $P(0)=G(0)+2=14+2=16$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 31-08-2021 - 22:29
- supermember và perfectstrong thích
#6
Đã gửi 02-09-2021 - 21:34
Giỏi quá bạn già! Vậy là bài toán unsolved hơn 2 năm đã được giải quyết!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh