Chủ đề này có 1 trả lời

[toanND]

Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Giả sử AM cắt (I) tại K, L (AK > AL). Các đường thẳng song song với BC qua K, L cắt (I) lần lượt tại X, Y. AX, AY cắt BC lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng: M là trung điểm PQ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanND: 17-02-2019 - 11:07

[Khoa Linh]

Ta có bổ đề sau: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với ba cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $DI$ cắt $EF$ tại $X$. Khi đó $AX$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$.

Chứng minh. 

Qua $X$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $Y,Z$. 

 

Ta có $\angle IXY=\angle IFY=\angle IXZ=\angle IEZ=90^{\circ}$ 

 

Suy ra tứ giác $XYFI$ và $XEZI$ nội tiếp 

 

Từ đó ta có $\angle IYX=\angle IFX=\angle IEX=\angle IZX \Rightarrow XY=XZ$.

 

Suy ra ta có $AX$ đi qua trung điểm $BC$.

 

Vậy bổ đề được chứng minh. 

 

Ta quay lại bài toán ban đầu. 

Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với ba cạnh $BC,CA,AB$. 

 

Lấy $Z$ là giao điểm $DI$ với $EF$. Khi đó theo bổ đề ta có $Z$ nằm trên $KL$ và theo tính chất đối xứng thì ta cũng có $X,Y,Z$ thẳng hàng. 

 

$AX$ cắt $YL$ tại $Y'$.

 

Ta thấy tứ giác $KELF$ là tứ giác điều hòa nên ta có 

 

$X(K,L;Y',Y)=X(K,L;A,L)=-1$

 

Mặt khác $XK \parallel YY'$ nên ta có $L$ là trung điểm $YY'$. 

 

Suy ra $M$ là trung điểm $PQ$ hay ta có $BP=CQ$.