Ta có bổ đề sau: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với ba cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $DI$ cắt $EF$ tại $X$. Khi đó $AX$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$.
Chứng minh.
Qua $X$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $AB,AC$ theo thứ tự tại $Y,Z$.
Ta có $\angle IXY=\angle IFY=\angle IXZ=\angle IEZ=90^{\circ}$
Suy ra tứ giác $XYFI$ và $XEZI$ nội tiếp
Từ đó ta có $\angle IYX=\angle IFX=\angle IEX=\angle IZX \Rightarrow XY=XZ$.
Suy ra ta có $AX$ đi qua trung điểm $BC$.
Vậy bổ đề được chứng minh.
Ta quay lại bài toán ban đầu.
Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với ba cạnh $BC,CA,AB$.
Lấy $Z$ là giao điểm $DI$ với $EF$. Khi đó theo bổ đề ta có $Z$ nằm trên $KL$ và theo tính chất đối xứng thì ta cũng có $X,Y,Z$ thẳng hàng.
$AX$ cắt $YL$ tại $Y'$.
Ta thấy tứ giác $KELF$ là tứ giác điều hòa nên ta có
$X(K,L;Y',Y)=X(K,L;A,L)=-1$
Mặt khác $XK \parallel YY'$ nên ta có $L$ là trung điểm $YY'$.
Suy ra $M$ là trung điểm $PQ$ hay ta có $BP=CQ$.