Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 toanND

toanND

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 17-02-2019 - 18:19

Tìm hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:

$i) f(1)=2$

$ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#2 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 18-02-2019 - 13:17

Tìm hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thỏa mãn:

$i) f(1)=2$

$ii) f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$

 

$f(xy)=f(x).f(y)-f(x+y)+1$ (1)

Thay $x=0,y=1$ vào (1) rồi kết hợp $f(1)=2$ suy ra ta có $f(0)=1$.  (2)

Thay $y=1$ vào (1) ta sẽ có $f(x+1)=f(x)+1$. (3)

Từ (3) ta sẽ dễ dàng chứng minh theo quy nạo thì ta có $f(n)=n+1, \forall n \in \mathbb{Z}$ (4)

Với $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$ thì ta có $f(1)=f(n.\dfrac{1}{n})=f(n).f \left (\dfrac{1}{n}\right )-f\left( n+\dfrac{1}{n} \right)+1$ (5)

Để ý ta có $f(n)=n$ và $f\left( n+\dfrac{1}{n} \right) =n+f\left(\dfrac{1}{n}\right)$ do (3) và (4).

Vậy từ (5) ta rút ra được $f\left(\dfrac{1}{n}\right)= \dfrac{1}{n}+1, \forall n \in  \mathbb{Z}, n \neq 0.$ (6)

Vậy với số hữu tỷ $q=\dfrac{a}{b},$ $a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$ thì ta có 

$f\left( \dfrac{a}{b} \right)=f(a).f\left( \dfrac{1}{b} \right)-f\left( a+\dfrac{1}{b} \right)+1=\dfrac{a}{b}+1$ (7)

 

Từ (2) và (7) ta có $f(x)=x+1, \forall x \in  \mathbb{Q}.$ 


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh