Cho $A, B$ là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn: $A=AB-BA$
Chứng minh: $A^{2}=0$
Cho $A, B$ là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn: $A=AB-BA$
Chứng minh: $A^{2}=0$
Gỉa sử các ma trận bạn đang xét là trong trường số phức. Trước tiên ta lấy vết hai vế $tr(A) = tr(AB)-tr(BA) = 0$. Theo định lý Cayley-Hamilton ta có:
$$A^2 + det(A) = 0$$
Như vậy ta cần chứng minh $det(A) = 0$. Giả sử ngược lại $c= det(A) \neq 0$. Tiếp đó từ $A = AB - BA \Rightarrow A(E - B) = -BA \Rightarrow det(B - E) = det(B)$ tiếp tục như vậy ta có $det(B) = det(B-E)=det(B-2E)=...$ như giả sử $B$ có bốn entries là $a,b,c,d$ thì $(a-n)(d-n)-bc = ad - bc \forall n > 0 \Rightarrow a+d = n \forall n > 0$ đây là điều vô lý. Tức là $det(A) = 0$ nên $A^2 = 0$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-02-2019 - 23:59
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh