Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $A, B$ là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn: $A=AB-BA$ Chứng minh: $A^{2}=0$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
ARSENAL1886

ARSENAL1886

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Cho $A, B$ là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn: $A=AB-BA$

Chứng minh: $A^{2}=0$



#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Cho $A, B$ là ma trận vuông cấp 2 thoả mãn: $A=AB-BA$

Chứng minh: $A^{2}=0$

Gỉa sử các ma trận bạn đang xét là trong trường số phức. Trước tiên ta lấy vết hai vế $tr(A) = tr(AB)-tr(BA) = 0$. Theo định lý Cayley-Hamilton ta có:

$$A^2 + det(A) = 0$$

Như vậy ta cần chứng minh $det(A) = 0$. Giả sử ngược lại $c=  det(A) \neq 0$. Tiếp đó từ $A = AB - BA \Rightarrow A(E - B) = -BA \Rightarrow det(B - E) = det(B)$ tiếp tục như vậy ta có $det(B) = det(B-E)=det(B-2E)=...$ như giả sử $B$ có bốn entries là $a,b,c,d$ thì $(a-n)(d-n)-bc = ad - bc \forall n > 0 \Rightarrow a+d = n \forall n > 0$ đây là điều vô lý. Tức là $det(A) = 0$ nên $A^2 = 0$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 18-02-2019 - 23:59

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh