Cho tam giác ABC có góc A < 90 độ. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C. Vẽ tia Ax trên đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ay trên đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh :
a) BE = CD
b) BE vuông góc với CD
c) Kẻ AH vuông góc với ED, H thuộc DE. Đường thẳng AH cắt BC tại M. Chứng minh MB=MC
Xin lỗi vì mình đang gấp nên mình không thể ghi Font Latex được, nên các bạn đừng nhắc nhở mình nhé.
Giải với Ax vuông góc với AB, Ay vuông góc với AC(nếu ko thì ko thể c/m b)
a) $\widehat{DAC}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}=90^{\circ}+\widehat{BAC} \widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=90^{\circ}+\widehat{BAC} \rightarrow \widehat{DAC}=\widehat{BAE}$
Từ đó, ta có $\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ADE(c.g.c)$ và BE=CD(hai cạnh tương ứng)
b)Gọi giao của AB và CD là I, của CD và BE là F
Có $\left\{\begin{matrix} \widehat{DAI}+\widehat{ADI}+\widehat{IDA}=\widehat{IBF}+\widehat{FBI}+\widehat{FIB}=180^{\circ}\\ \widehat{ADI}=\widehat{ABF}(\bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABE) \\ \widehat{DIA}=\widehat{BIF} \end{matrix}\right. \rightarrow \widehat{BFI}=\widehat{DAI}=90^{\circ}$
HAy BC vuông góc với DE tại F
c)TRên tia đối AM lấy N sao cho MN=AM. TA có $\bigtriangleup ABM=\bigtriangleup CNM(c.g.c)\Rightarrow CN=AB=AD$
Từ hai tam giác bằng nhau trên, ta suy ra $\left\{\begin{matrix} \widehat{ABM}=\widehat{CMN}\\ so le trong \end{matrix}\right.$ nên AB//CD và$\widehat{ACN}=180^{\circ}-\widehat{BAC}$
MÀ $\widehat{DAE}=360^{\circ}-\widehat{DAB}-\widehat{CAE}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}$
Vậy góc ACN bằng góc DAE. VÀ $\bigtriangleup ACN=\bigtriangleup EAD(c.g.c)\rightarrow \widehat{CAN}=\widehat{DAE}\Leftrightarrow \widehat{MAC}=\widehat{HEA}$
$\bigtriangleup HEA$ có góc H bằng 90 độ $\rightarrow \widehat{HAE}=90^{\circ}-\widehat{HEA}\rightarrow \widehat{HAE}+\widehat{EAC}+\widehat{CAM}=90^{\circ}+(90^{\circ}+\widehat{HEA}-\widehat{HEA})=180^{\circ}$
Như vậy ta có A,H,M thẳng hàng.(đpcm)
