Chủ đề này có 3 trả lời

[kiencoam]

Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc

Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$

[Khoa Linh]

Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc

Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$. 

Khi đó bài toán trở thành bài toán sau (mình đã làm nên chỉ copy lại)

Cho các số $0<a,b,c<1$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\dfrac{a^2(1-2b)}{b}+\dfrac{b^2(1-2c)}{c}+\dfrac{c^2(1-2a)}{a}$

 

Lời giải(Nguyễn Đăng Khoa)

 

Ta có:

 

$A=\dfrac{a^2(1-b)}{b}+\dfrac{b^2(1-c)}{c}+\dfrac{c^2(1-a)}{a}-(a^2+b^2+c^2)$.

 

Vì $0<a,b,c<1$ nên $1-a,1-b,1-c>0$ và $a(1-a)+b(1-b)+c(1-c)=a+b+c-(a^2+b^2+c^2)>0$.

 

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

 

$\dfrac{a^2(1-b)}{b}+\dfrac{b^2(1-c)}{c}+\dfrac{c^2(1-a)}{a} \geq \dfrac{\left [a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)  \right ]^2}{b(1-b)+c(1-c)+a(1-a)}=\dfrac{(a+b+c-1)^2}{a+b+c-(a^2+b^2+c^2)}$

 

Suy ra $A \geq \dfrac{(a+b+c-1)^2}{a+b+c-(a^2+b^2+c^2)}+\left [a+b+c-(a^2+b^2+c^2)  \right ]-(a+b+c)$

 

$ \geq 2(a+b+c-1) -(a+b+c)=a+b+c-2 \geq \sqrt{3}-2 $ (AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 20-02-2019 - 23:04

[phongmaths]

Cách giải khác :

Ta có a+b+c=abc$\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

$P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}=\sum \frac{a-1+b-1}{b^{2}}-\sum \frac{1}{a}=\sum (a-1)(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})-\sum \frac{1}{a}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$P \geq (a-1)\frac{2}{ab}+(b-1)\frac{2}{bc}+(c-1)\frac{2}{ca}-\sum \frac{1}{a}=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}-2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})-\sum \frac{1}{a}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-2\geq \sqrt{3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})}-2=\sqrt{3}-2$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 20-02-2019 - 23:31

[KietLW9]

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ (x,y,z < 1) thì xy + yz + zx = 1

Ta cần tìm GTNN của $P=\sum \frac{y^2(1-2x)}{x}$

Áp dụng Cô-si, ta được: $\frac{y^2(1-x)}{x}+x(1-x)\geq 2y(1-x)$

Tương tự rồi cộng lại: $P\geq x+y+z-2(xy+yz+zx)\geq \sqrt{3(xy+yz+zx)}-2(xy+yz+zx)=\sqrt{3}-2$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 27-03-2021 - 08:18