Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 kiencoam

kiencoam

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cổ Am,Vĩnh Bảo, Hải Phòng
  • Sở thích:Gì cũng thích

Đã gửi 20-02-2019 - 22:55

Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc

Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$


Tột đỉnh của sự thông minh là giả vờ thần kinh trong một vài tình huống :luoi: :luoi: :luoi:


#2 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 20-02-2019 - 23:03

Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc

Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$. 

Khi đó bài toán trở thành bài toán sau (mình đã làm nên chỉ copy lại)

Cho các số $0<a,b,c<1$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
 
Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\dfrac{a^2(1-2b)}{b}+\dfrac{b^2(1-2c)}{c}+\dfrac{c^2(1-2a)}{a}$
 
Lời giải(Nguyễn Đăng Khoa)
 
Ta có:
 
$A=\dfrac{a^2(1-b)}{b}+\dfrac{b^2(1-c)}{c}+\dfrac{c^2(1-a)}{a}-(a^2+b^2+c^2)$.
 
Vì $0<a,b,c<1$ nên $1-a,1-b,1-c>0$ và $a(1-a)+b(1-b)+c(1-c)=a+b+c-(a^2+b^2+c^2)>0$.
 
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
 
$\dfrac{a^2(1-b)}{b}+\dfrac{b^2(1-c)}{c}+\dfrac{c^2(1-a)}{a} \geq \dfrac{\left [a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)  \right ]^2}{b(1-b)+c(1-c)+a(1-a)}=\dfrac{(a+b+c-1)^2}{a+b+c-(a^2+b^2+c^2)}$
 
Suy ra $A \geq \dfrac{(a+b+c-1)^2}{a+b+c-(a^2+b^2+c^2)}+\left [a+b+c-(a^2+b^2+c^2)  \right ]-(a+b+c)$
 
$ \geq 2(a+b+c-1) -(a+b+c)=a+b+c-2 \geq \sqrt{3}-2 $ (AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 20-02-2019 - 23:04

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#3 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 20-02-2019 - 23:31

Cách giải khác :

Ta có a+b+c=abc$\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

$P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}=\sum \frac{a-1+b-1}{b^{2}}-\sum \frac{1}{a}=\sum (a-1)(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})-\sum \frac{1}{a}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$P \geq (a-1)\frac{2}{ab}+(b-1)\frac{2}{bc}+(c-1)\frac{2}{ca}-\sum \frac{1}{a}=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}-2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})-\sum \frac{1}{a}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-2\geq \sqrt{3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})}-2=\sqrt{3}-2$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 20-02-2019 - 23:31





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh