Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc
Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$
Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc
Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$
Tột đỉnh của sự thông minh là giả vờ thần kinh trong một vài tình huống
Cho a,b,c>1 thỏa mãn a+b+c=abc
Tìm GTNN của $P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}$
Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$.
Khi đó bài toán trở thành bài toán sau (mình đã làm nên chỉ copy lại)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 20-02-2019 - 23:04
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Cách giải khác :
Ta có a+b+c=abc$\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$
$P=\frac{a-2}{b^{2}}+\frac{b-2}{c^{2}}+\frac{c-2}{a^{2}}=\sum \frac{a-1+b-1}{b^{2}}-\sum \frac{1}{a}=\sum (a-1)(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})-\sum \frac{1}{a}$
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$P \geq (a-1)\frac{2}{ab}+(b-1)\frac{2}{bc}+(c-1)\frac{2}{ca}-\sum \frac{1}{a}=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}-2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})-\sum \frac{1}{a}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-2\geq \sqrt{3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})}-2=\sqrt{3}-2$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 20-02-2019 - 23:31
Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$
Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ (x,y,z < 1) thì xy + yz + zx = 1
Ta cần tìm GTNN của $P=\sum \frac{y^2(1-2x)}{x}$
Áp dụng Cô-si, ta được: $\frac{y^2(1-x)}{x}+x(1-x)\geq 2y(1-x)$
Tương tự rồi cộng lại: $P\geq x+y+z-2(xy+yz+zx)\geq \sqrt{3(xy+yz+zx)}-2(xy+yz+zx)=\sqrt{3}-2$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 27-03-2021 - 08:18
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh