Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$
Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Sử dụng $\sqrt{\it{A}}- \it{B}= \frac{\it{A}- \it{B}^{\,\it{2}}}{\sqrt{\it{A}}+ \it{B}}$$:$
$- \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \it{2}\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}=$
$= \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \it{2}\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}}\leqq$
$\leqq \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}$
Kết hợp$:$
$\sum\,\sqrt{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}}\leqq \frac{\it{3}}{\it{2}}\sum\,\it{a}\Leftrightarrow \sum\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \sum\,\it{bc}+ \it{2}\,\sum\,\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}\leqq \frac{\it{9}}{\it{4}}\it{(}\,\,\sum\,\it{a}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}$$.$ Và ta cần phải chứng minh$:$
$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \sum\,\it{bc}+ \sum\left ( \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}} \right )\leqq \frac{\it{9}}{\it{4}}\it{(}\,\,\sum\,\it{a}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}$
Bất đẳng thức đối xứng thuần bậc $\it{4}$$:$ $\lceil$ https://ajmaa.org/se...9n1/v9i1p15.pdf $\rfloor$ hoặc có thể giải bằng B$\ast$W và S$\ast$O$\ast$S$.$
Hiện tại mình đang nghiên cứu để có thể viết$($và chưa được$)$$:$
$$\sqrt{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}}\leqq \frac{\it{3}\,\it{F}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\sum\,\it{a}}{\it{2}\,\sum\limits_{cyc}\it{F}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}}$$
Cách giải khác :
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$
Ta có
$a+c+\frac{a^{2}+bc}{a+c}\geq 2\sqrt{a^{2}+bc}$
$b+c+\frac{b^{2}+ca}{b+c}\geq 2\sqrt{b^{2}+ca}$
$b+c+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\geq 2\sqrt{c^{2}+ab}$
$\Rightarrow 2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab})\leq a+2b+3c+\frac{a^{2}+bc}{b+c}+\frac{b^{2}+ca}{c+a}+\frac{c^{2}+ab}{a+b}$
BĐT cần CM tương đương với $a+2b+3c+\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\leq 3(a+b+c) \Leftrightarrow \frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\leq 2a+b$
Mà $a\geq b\geq c\geq 0$ $\Rightarrow \frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c} =\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca+c^{2}+ab}{b+c} =\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+a \leq \frac{a^{2}+ac}{a+c}+\frac{b^{2}+cb}{b+c}+a=a+b+a=2a+b$ (đpcm)
Dấu = xảy ra khi a=b,c=0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 01-04-2019 - 00:03
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh