Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$

bđt bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 21-02-2019 - 16:45

Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng 

 

$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$


BLACKPINK IN YOUR AREA 


#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1762 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 31-03-2019 - 16:36

Sử dụng $\sqrt{\it{A}}- \it{B}= \frac{\it{A}- \it{B}^{\,\it{2}}}{\sqrt{\it{A}}+ \it{B}}$$:$

$- \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \it{2}\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}=$

$= \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \it{2}\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}}\leqq$

$\leqq \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}$

Kết hợp$:$

$\sum\,\sqrt{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}}\leqq \frac{\it{3}}{\it{2}}\sum\,\it{a}\Leftrightarrow \sum\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \sum\,\it{bc}+ \it{2}\,\sum\,\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}\leqq \frac{\it{9}}{\it{4}}\it{(}\,\,\sum\,\it{a}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}$$.$ Và ta cần phải chứng minh$:$

$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \sum\,\it{bc}+ \sum\left ( \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}} \right )\leqq \frac{\it{9}}{\it{4}}\it{(}\,\,\sum\,\it{a}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}$

Bất đẳng thức đối xứng thuần bậc $\it{4}$$:$ $\lceil$ https://ajmaa.org/se...9n1/v9i1p15.pdf $\rfloor$ hoặc có thể giải bằng B$\ast$WS$\ast$O$\ast$S$.$

Hiện tại mình đang nghiên cứu để có thể viết$($và chưa được$)$$:$

$$\sqrt{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}}\leqq \frac{\it{3}\,\it{F}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\sum\,\it{a}}{\it{2}\,\sum\limits_{cyc}\it{F}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}}$$

 

 

 

 


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#3 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 01-04-2019 - 00:01

Cách giải khác :

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$

Ta có

$a+c+\frac{a^{2}+bc}{a+c}\geq 2\sqrt{a^{2}+bc}$

$b+c+\frac{b^{2}+ca}{b+c}\geq 2\sqrt{b^{2}+ca}$

$b+c+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\geq 2\sqrt{c^{2}+ab}$

$\Rightarrow 2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab})\leq a+2b+3c+\frac{a^{2}+bc}{b+c}+\frac{b^{2}+ca}{c+a}+\frac{c^{2}+ab}{a+b}$

BĐT cần CM tương đương với $a+2b+3c+\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\leq 3(a+b+c) \Leftrightarrow \frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\leq 2a+b$

Mà $a\geq b\geq c\geq 0$ $\Rightarrow \frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c} =\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca+c^{2}+ab}{b+c} =\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+a \leq \frac{a^{2}+ac}{a+c}+\frac{b^{2}+cb}{b+c}+a=a+b+a=2a+b$ (đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b,c=0


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 01-04-2019 - 00:03


#4 Thanhlongviemtuoc

Thanhlongviemtuoc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An đất học
  • Sở thích:GAME, MATHS!!!!!!!

Đã gửi 01-09-2019 - 21:16

Hơi khó à nha khá mất time


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanhlongviemtuoc: 01-09-2019 - 21:21






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh