Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$

bđt bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 21-02-2019 - 16:45

Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng 

 

$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$


DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 31-03-2019 - 16:36

Sử dụng $\sqrt{\it{A}}- \it{B}= \frac{\it{A}- \it{B}^{\,\it{2}}}{\sqrt{\it{A}}+ \it{B}}$$:$

$- \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \it{2}\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}=$

$= \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \it{2}\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}}\leqq$

$\leqq \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}$

Kết hợp$:$

$\sum\,\sqrt{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}}\leqq \frac{\it{3}}{\it{2}}\sum\,\it{a}\Leftrightarrow \sum\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \sum\,\it{bc}+ \it{2}\,\sum\,\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}\leqq \frac{\it{9}}{\it{4}}\it{(}\,\,\sum\,\it{a}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}$$.$ Và ta cần phải chứng minh$:$

$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \sum\,\it{bc}+ \sum\left ( \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}} \right )\leqq \frac{\it{9}}{\it{4}}\it{(}\,\,\sum\,\it{a}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}$

Bất đẳng thức đối xứng thuần bậc $\it{4}$$:$ $\lceil$ https://ajmaa.org/se...9n1/v9i1p15.pdf $\rfloor$ hoặc có thể giải bằng B$\ast$WS$\ast$O$\ast$S$.$

Hiện tại mình đang nghiên cứu để có thể viết$($và chưa được$)$$:$

$$\sqrt{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}}\leqq \frac{\it{3}\,\it{F}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\sum\,\it{a}}{\it{2}\,\sum\limits_{cyc}\it{F}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}}$$

 

 

 

 



#3 phongmaths

phongmaths

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 01-04-2019 - 00:01

Cách giải khác :

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$

Ta có

$a+c+\frac{a^{2}+bc}{a+c}\geq 2\sqrt{a^{2}+bc}$

$b+c+\frac{b^{2}+ca}{b+c}\geq 2\sqrt{b^{2}+ca}$

$b+c+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\geq 2\sqrt{c^{2}+ab}$

$\Rightarrow 2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab})\leq a+2b+3c+\frac{a^{2}+bc}{b+c}+\frac{b^{2}+ca}{c+a}+\frac{c^{2}+ab}{a+b}$

BĐT cần CM tương đương với $a+2b+3c+\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\leq 3(a+b+c) \Leftrightarrow \frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\leq 2a+b$

Mà $a\geq b\geq c\geq 0$ $\Rightarrow \frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c} =\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca+c^{2}+ab}{b+c} =\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+a \leq \frac{a^{2}+ac}{a+c}+\frac{b^{2}+cb}{b+c}+a=a+b+a=2a+b$ (đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b,c=0


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 01-04-2019 - 00:03






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh