Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$

bđt bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Cho các số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng 

 

$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab} \leq \dfrac{3}{2}(a+b+c)$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Sử dụng $\sqrt{\it{A}}- \it{B}= \frac{\it{A}- \it{B}^{\,\it{2}}}{\sqrt{\it{A}}+ \it{B}}$$:$

$- \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \it{2}\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}=$

$= \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \it{2}\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}}\leqq$

$\leqq \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}$

Kết hợp$:$

$\sum\,\sqrt{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}}\leqq \frac{\it{3}}{\it{2}}\sum\,\it{a}\Leftrightarrow \sum\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \sum\,\it{bc}+ \it{2}\,\sum\,\sqrt{\it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ca}\,\,\it{)}}\leqq \frac{\it{9}}{\it{4}}\it{(}\,\,\sum\,\it{a}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}$$.$ Và ta cần phải chứng minh$:$

$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \sum\,\it{bc}+ \sum\left ( \it{(}\,\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \frac{-\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}} \right )\leqq \frac{\it{9}}{\it{4}}\it{(}\,\,\sum\,\it{a}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}$

Bất đẳng thức đối xứng thuần bậc $\it{4}$$:$ $\lceil$ https://ajmaa.org/se...9n1/v9i1p15.pdf $\rfloor$ hoặc có thể giải bằng B$\ast$WS$\ast$O$\ast$S$.$

Hiện tại mình đang nghiên cứu để có thể viết$($và chưa được$)$$:$

$$\sqrt{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{bc}}\leqq \frac{\it{3}\,\it{F}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\sum\,\it{a}}{\it{2}\,\sum\limits_{cyc}\it{F}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}}$$

 

 

 

 



#3
phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Cách giải khác :

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$

Ta có

$a+c+\frac{a^{2}+bc}{a+c}\geq 2\sqrt{a^{2}+bc}$

$b+c+\frac{b^{2}+ca}{b+c}\geq 2\sqrt{b^{2}+ca}$

$b+c+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\geq 2\sqrt{c^{2}+ab}$

$\Rightarrow 2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab})\leq a+2b+3c+\frac{a^{2}+bc}{b+c}+\frac{b^{2}+ca}{c+a}+\frac{c^{2}+ab}{a+b}$

BĐT cần CM tương đương với $a+2b+3c+\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\leq 3(a+b+c) \Leftrightarrow \frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c}\leq 2a+b$

Mà $a\geq b\geq c\geq 0$ $\Rightarrow \frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca}{b+c}+\frac{c^{2}+ab}{b+c} =\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+ca+c^{2}+ab}{b+c} =\frac{a^{2}+bc}{a+c}+\frac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+a \leq \frac{a^{2}+ac}{a+c}+\frac{b^{2}+cb}{b+c}+a=a+b+a=2a+b$ (đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b,c=0


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 01-04-2019 - 00:03






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt, bdt

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh