Chủ đề này có 2 trả lời

[Kitaro1006]

Cho các số thực dương a,b,c mà abc=1. Chứng minh rằng :$\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leqslant 1$

[tritanngo99]

Cho các số thực dương a,b,c mà abc=1. Chứng minh rằng :$\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leqslant 1$

Do $a,b,c>0$ và thỏa mãn $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $(a;b;c)=(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})$.

Khi đó $\sum \frac{1}{2+a}\le 1\iff \sum \frac{y}{x+2y}\le 1\iff \sum \frac{2y}{x+2y}\le 2 \iff \sum (1-\frac{2y}{x+2y})\ge 1\sum\frac{x}{x+2y}\ge 1$.

Thật vậy, ta có: $\sum \frac{x}{x+2y}=\sum \frac{x^2}{x^2+2xy}\ge \frac{(x+y+z)^2}{\sum x^2+2\sum xy}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 24-02-2019 - 18:20

[KietLW9]

Ta có: $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leqslant 1\Leftrightarrow  \frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}+\frac{2}{2+c}\leqslant 2\Leftrightarrow (1-\frac{2}{2+a})+(1-\frac{2}{2+b})+(1-\frac{2}{2+c})\geqslant 1\Leftrightarrow \frac{a}{a+2} +\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\geqslant 1\Leftrightarrow \frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\geq 1$

Đặt $(\frac{2}{a},\frac{2}{b},\frac{2}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $xyz=\frac{8}{abc}=8$

Ta cần chứng minh: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geqslant 1 (*)$

Thật vậy: $(*)\Leftrightarrow x+y+z+2\geqslant xyz$ *đúng do xyz = 8*

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1