Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Too123

Too123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết

Cho $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. Chứng minh $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$



#2
phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Ta có 

BĐT cần chứng minh tương đương với 

$\frac{\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}}{\sqrt{xyz}}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}$

Mà áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$VT = \sum \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{yz}}=\sum \sqrt{\frac{1}{x}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{1}{yz}}=\sum \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}}=\sum \sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})}\geq \sum \sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{yz}})^{2}}=\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{yz}})=(\sum \frac{1}{x})+( \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})=1+\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}$ 

Dấu = xảy ra khi x=y=z=3






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh