Cho $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. Chứng minh $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$
$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$
#1
Đã gửi 24-02-2019 - 19:10
#2
Đã gửi 26-02-2019 - 20:56
Ta có
BĐT cần chứng minh tương đương với
$\frac{\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}}{\sqrt{xyz}}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}$
Mà áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
$VT = \sum \sqrt{\frac{1}{x}+\frac{1}{yz}}=\sum \sqrt{\frac{1}{x}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+\frac{1}{yz}}=\sum \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}}=\sum \sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})}\geq \sum \sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{yz}})^{2}}=\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{yz}})=(\sum \frac{1}{x})+( \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})=1+\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}$
Dấu = xảy ra khi x=y=z=3
- buingoctu yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh