Chứng minh rằng:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{12xyz}\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Monkey Moon: 28-02-2019 - 20:53
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Monkey Moon: 28-02-2019 - 20:53
Đề sai. Nếu x=y=z=1 thì $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{12xyz}=3+\sqrt{12}> 1$
Thưa bạn đề không sai, bạn chưa hiểu đề bài phải không? Đó chỉ là khoảng giới hạn cho ba số x, y, z thôi, và x+y+z=1 mà, làm sao cả ba đều = 1 được.Đề sai. Nếu x=y=z=1 thì $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{12xyz}=3+\sqrt{12}> 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Monkey Moon: 28-02-2019 - 21:00
Thưa bạn đề không sai, bạn chưa hiểu đề bài phải không? Đó chỉ là khoảng giới hạn cho ba số x, y, z thôi, và x+y+z=1 mà, làm sao cả ba đều = 1 được.
Sorry. Đọc chưa kĩ đề. Lời giải của câu này
Ta có
BĐT cần chứng minh tương đương với $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{12xyz}\leq 1 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{12xyz}\leq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\sqrt{3xyz}\leq x^{2}+y^{2}+z^{2} +2(xy+yz+zx) \Leftrightarrow \sqrt{3xyz}\leq xy+yz+zx$
Mà áp dụng BĐT Cauchy và kết hợp x+y+z=1 ta có
$3xyz(x+y+z)\leq (xy+yz+zx)^{2} \Leftrightarrow 3xyz\leq (xy+yz+zx)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{3xyz}\leq (xy+yz+zx)$ (đpcm)
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$ hoặc x=1, y=z=1 (x,y,z như nhau)
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh