Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Định thức và ma trận


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 01-03-2019 - 17:12

Phần I: KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC CẤP $n$.

 Định thức cấp bốn tương ứng với bảng các phần tử: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}\end{align*}$ được xác định bởi đẳng thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$=$a_{11}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$-$a_{12}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$+$a_{13}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$-$a_{14}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}\end{align*}$.

 Tương tự, nhờ định thức cấp bốn ta có thể định nghĩa định thức cấp năm v.v...

  Các định nghĩa về định thức con và phần phụ đại số của phần tử nào đó và cả hai định lý về các phần phụ đại số đã phát biểu đối với định thức cấp ba vẫn còn có hiệu lực đối với định thức cấp tùy ý.

  Do đó, nếu gọi $M_{jk}$ là định thức con và $A_{jk}$ là phần phụ đại số của phần tử $a_{jk}$ của định thức cấp $n$ (nghĩa là phần tử ở hàng $j$ và cột $k$ của định thức này), thì ta có: $A_{jk}=(-1)^{j+k}M_{jk}$.

  Giả sử $D$ là định thức cấp $n$. Đầu tiên khai triển nó theo các phần tử của hàng $j$ và sau đó theo các phần tử của cột $k$ (theo định lý thứ nhất về các phần phụ đại số) ta được: $D=a_{j1}A_{j1}+a_{j2}A_{j2}+...+a_{jn}A_{jn}$; và $D=a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+...+a_{nk}A_{nk}$.

 Mặt khác khi $j\ne i$ và $k\le l$ (theo định lý thứ hai về các phần phụ đại số) ta có: $a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+...+a_{jn}A_{in}=0$ và $a_{1k}A_{1l}+a_{2k}A_{2l}+...+A_{nk}A_{nl}=0$.

  Các tính chất của định thức cấp hai và cấp ba đã phát biểu ở Phần 5, chương I cũng đúng đối với các định thức cấp tùy ý.

  Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\end{array}\right.$

với định thức: $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}\end{align*}\ne 0$.

tìm được theo các công thức: $x_1=\frac{D_1}{D};x_2=\frac{D_2}{D};...;x_n=\frac{D_n}{D}$.

 Trong các công thức này $D$ là định thức của hệ còn $D_k(k=1,2,...,n)$ là định thức nhận được từ hệ bằng cách thay cột $k$ (tức là cột các hệ số của ẩn $x_k$) bằng cột các số hạng tự do :

$\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1,k-1}&b_1&a_{1,k+1}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2,k-1}&b_2&a_{2,k+1}&...&a_{2n}\\ ...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{n,k-1}&b_n&a_{n,k+1}&...&a_{nn} \end{vmatrix}\end{align*}$.

Các ví dụ:

383. Tính định thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&5&7&2\\ 1&2&3&4\\ -2&-3&3&2\\ 1&3&5&4 \end{vmatrix}\end{align*}$.

Giải. 1) Lấy các phần tử của hàng đầu trừ đi ba lần các phần tử tương ứng của hàng hai.

2) Thêm hai lần các phần tử của hàng hai vào các phần tử tương ứng của hàng ba.

3) Lấy các phần tử của hàng bốn trừ đi các phần tử tương ứng của hàng hai.

 Định thức đã cho biến thành dạng: $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 0&-1&-2&-10\\ 1&2&3&4\\ 0&1&9&10\\ 0&1&2&0 \end{vmatrix}\end{align*}$

 Khai triển định thức này theo các phần tử ở cột đầu: $D=-\begin{align*}\begin{vmatrix} -1&-2&-10 \\ 0&7&10\\ 1&2&0 \end{vmatrix}\end{align*}$.

Ta khai triển định thức theo các phần tử của cột đầu: $D=-\begin{align*}\begin{vmatrix} 0&-10\\ 7&10 \end{vmatrix}\end{align*}=-70$.

384. Tính định thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&0&0&0\\ 3&2&3&0&0\\ 0&4&3&4&0\\ 0&0&5&4&5\\ 0&0&0&6&5 \end{vmatrix}\end{align*}$.

Giải. Ta mang các nhân thức chung của cột hai, cột bốn và cột năm ra ngoài dấu định thức:

$D=2.2.5.\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&0&0&0\\ 3&1&3&0&0\\ 0&2&3&2&0\\ 0&0&5&2&1\\ 0&0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$

  Lấy các phần tử ở cột hai trừ đi các phần tử tương ứng ở cột một $D=20.\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&0&0&0&0\\ 3&-2&3&0&0\\ 0&2&3&2&0\\ 0&0&5&2&1\\ 0&0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$

  Khai triển định thức theo các phần tử ở hàng đầu: 

$D=20.\begin{align*}\begin{vmatrix} -2&3&0&0\\ 2&3&0&0\\ 0&5&2&1\\ 0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$

  Thêm các phần tử của hàng đầu vào các phần tử của hàng hai và mang $-2$ (nhân thức chung của các phần tử ở cột đầu) ra ngoài dấu định thức: $D=-40.\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&3&0&0\\ 0&6&2&0\\ 0&5&2&1\\ 0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$

  Khai triển định thức theo các phần tử ở cột đầu: $D=-40.\begin{align*}\begin{vmatrix} 6&2&0\\ 5&2&1\\ 0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$.

 Lấy các phần tử ở hàng hai trừ đi các phần tử ở hàng ba rồi mang $2$ (nhân thức chung của các phần tử ở hàng đầu) ra ngoài dấu định thức: $D=-80\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&1&0\\ 5&-1&0\\ 0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$.

  Khai triển định thức theo các phần tử ở cột ba: $D=-80\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&1\\ 5&-1 \end{vmatrix}\end{align*}=640$.

385. Tìm $y$ từ hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} x+2y+3z=14\\ y+2z+3t=20\\ z+2t+3x=14\\ t+2x+3y=12\end{array}\right.$

Giải. Ta viết hệ này dưới dạng: $\left\{\begin{array}{I} x+2y+3z+0.t=14\\ 0.x+y+2z+3t=20\\ 3x+0.y+z+2t=14\\ 2x+3y+0.z+1.t=12\end{array}\right.$

Ta có: $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&3&0\\ 0&1&2&3\\ 3&0&1&2\\ 2&3&0&1 \end{vmatrix}\end{align*}$.

 Lấy các phần tử của cột hai trừ đi hai lần các phần tử của cột một; lấy các phần tử của cột ba trừ đi ba lần các phần tử của cột một:

$D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&2&3\\ 3&-6&-8&2\\ 2&-1&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&3\\ -6&-8&2\\-1&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}=(-2).(-1)$.$\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 3&4&-1\\ 1&6&-1\end{vmatrix}\end{align*}$

  Lấy các phần tử của cột hai trừ đi hai lần các phần tử của cột một ; các phần tử của cột ba trừ đi ba lần các phần tử của cột một:

$D=2\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&0&0\\3&-2&-10\\1&4&-4\end{vmatrix}\end{align*}$=$2\begin{align*}\begin{vmatrix} -2&-10\\ 4^-4\end{vmatrix}\end{align*}=2.(8+40)=96$.

Ta tìm: $D_y=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&14&3&0\\ 0&20&2&3\\ 3&14&1&2\\ 2&-12&0&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$2\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&7&3&0\\ 0&10&2&3\\ 3&7&1&2\\ 2&6&0&1\end{vmatrix}\end{align*}$

 Lấy các phần tử của hàng ba trừ đi ba lần các phần tử của hàng một; các phần tử của hàng bốn trừ đi hai lần các phần tử của hàng một:

$D_y=2\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&7&3&0\\ 0&10&2&3\\ 0&-14&-8&2\\ 0&-8&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$2\begin{align*}\begin{vmatrix} 10&2&3\\ -14&-8&2\\ -8&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$2.2.2.\begin{align*}\begin{vmatrix} 5&1&3\\ -7&-4&2\\ -4&-2&1\end{vmatrix}\end{align*}$

  Lấy các phần tử của hàng đầu trừ đi ba lần các phần tử của hàng ba; các phần tử của hàng hai trừ đi hai lần các phần tử của hàng ba:

$D_y=8\begin{align*}\begin{vmatrix} 17&10&0\\ 1&2&0\\ -4&-3&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$8\begin{align*}\begin{vmatrix} 17&10\\ 1&2\end{vmatrix}\end{align*}=192$.

Từ đó $y=\frac{D_y}{D}=\frac{192}{96}=2$.

336. Tính định thức: 

$V=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3\end{vmatrix}\end{align*}$.

Giải. Lấy hàng hai trừ đi hàng một nhân với $a$, hàng ba trừ đi hàng hai nhân với $a$, hàng bốn trừ đi hàng ba hân với $a$:

$V=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 0&b-a&c-a&d-a\\ 0&b^2-ab&c^2-ac&d^2-ad\\ 0&b^3-ab^2&c^3-ac^2&d^3-ad^2\end{vmatrix}\end{align*}$=$(b-a)(c-a)(d-a)\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1\\ b&c&d\\ b^2&c^2&d^2\end{vmatrix}\end{align*}$

 Lấy hàng hai trừ đi hàng một nhân với $b$, hàng ba trừ đi hàng hai nhân với $b$:

$V=(b-a)(c-a)(d-a)\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 0&c-b&d-b\\ 0&c^2-bc&d^2-db\end{vmatrix}\end{align*}$=$(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1\\ c&d\end{vmatrix}\end{align*}$.

Vậy $V=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$.

  Dễ dàng thấy rằng định thức đang xét bằng không khi và chỉ khi trong các số $a,b,c,d$ có những số bằng nhau.

Tính các định thức: 

387. $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&-2&3&4\\ 2&1&-4&3\\ 3&-4&-1&-2\\ 4&3&2&-1\end{vmatrix}\end{align*}$

388. $\begin{align*}\begin{vmatrix} -1&-1&-1&-1\\ -1&-2&-4&-8\\ -1&-3&-9&-27\\ -1&-4&-16&-64\end{vmatrix}\end{align*}$

389. $\begin{align*}\begin{vmatrix} 10&2&0&0&0\\ 12&10&2&0&0\\ 0&12&10&2&0\\ 0&0&12&10&2\\ 0&0&0&12&10 \end{vmatrix}\end{align*}$

390. $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1+a&1&1&1\\ 1&1-a&1&1\\ 1&1&1+b&1\\ 1&1&1&1-b\end{vmatrix}\end{align*}$

Giải các hệ phương trình:

391. $\left\{\begin{array}{I} y-3z+4t=-5\\ x-2z+3t=-4\\ 3x+2y-5t=12\\ 4x+3y-5z=5\end{array}\right.$

392. $\left\{\begin{array}{I} x-3y+5z-7t=12\\ 3x-5y+7z-t=0\\ 5x-7y+z-3t=4\\ 7x-y+3z-5t=16\end{array}\right.$

393. $\left\{\begin{array}{I} x+2y=5\\ 3y+4z=18\\ 5z+6u=39\\ 7u+8v=68\\ 9v+10x=55\end{array}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 02-03-2019 - 15:17

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#2 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 02-03-2019 - 16:58

Phần 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN

Các đẳng thức: $\left\{\begin{array}{I} x=a_{11}x'+a_{12}y'\\ y=a_{21}x'+a_{22}y' \end{array}\right.$ biểu diễn tuyến tính các giá trị $x$ và $y$ qua các giá trị của các biến $x'$ và $y'$. Các đẳng thức này gọi là phép biến đổi tuyến tính của các biến $x'$ và $y'$. Chúng cũng có thể xem như phép biến đổi tuyến tính của các tọa độ của điểm (hay vectơ) trên mặt phẳng.

Bảng $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\end{align*}$ được gọi là ma trận của phép biến đổi tuyến tính đang xét.

Định thức $D_A=\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix}\end{align*}$ gọi là định thức của phép biến đổi tuyến tính. Sau này ta sẽ giả thiết rằng $D_A\ne 0$.

  Cũng có thể xét phép biến đổi tuyến tính của ba biến (tức là trong không gian) (1).

Ghi chú :

(1) Ta thường gọi phép biến đổi tuyến tính là những đẳng thức có dạng tổng quát hơn: $\left\{\begin{array}{I} x=a_{11}x'+a_{12}y'+a_{13}z'+b_1\\ y=a_{21}x'+a_{22}y'+a_{23}z'+b_2\\ z=a_{31}x'+a_{32}y'+a_{33}z'+b_3 \end{array}\right. $

  Phép biến đổi tuyến tính đang xét ở trên ứng với $b_1=b_2=b_3=0$. Trong các giáo trình giải tích hàm phép biến đổi tuyến tính như vậy được gọi là toán tử tuyến tính.

  $\left\{\begin{array}{I} x=a_{11}x'+a_{12}y'+a_{13}z'+b_1\\ y=a_{21}x'+a_{22}y'+a_{23}z'+b_2\\ z=a_{31}x'+a_{32}y'+a_{33}z'+b_3 \end{array}\right. $ ở đây:

$A=\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\end{align*}$

và $D_A=\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\end{align*}$ là ma trận và định thức của phép biến đổi này.

  Ma trận $A$ gọi là không suy biến( bình thường) nếu $D_A\ne 0$. Còn $D_A=0$ thì ma trận $A$ là không bình thường (suy biến).

Các ma trận: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\end{align*}$ và $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\end{align*}$ gọi là các ma trận vuông cấp hai và cấp ba tương ứng.

 Để tổng quát hơn ta sẽ đưa ra một số định nghĩa đối với ma trận cấp ba ; bạn đọc có thể dễ dàng ứng dụng cho ma trận cấp hai.

  Nếu các phần tử của ma trận vuông thỏa mãn điều kiện: $a_{mn}=a_{nm}$, thì ma trận được gọi là đối xứng.

Hai ma trận: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$ và $B=\begin{align*}\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23}\\ b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$

được xem là bằng nhau $(A=B)$ khi và chỉ khi các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau, nghĩa là $a_{mn}=b_{mn}(m=1,2,3;n=1,2,3)$. Tổng của hai ma trận $A$ và $B$ là ma trận xác định bởi đẳng thức: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$+$\begin{align*}\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23}\\ b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\ a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\ a_{31}+b_{31}&a_{32}+b_{32}&a_{33}+b_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$

 Tích của số $m$ với ma trận $A$ là ma trận xác định bởi đẳng thức: $m.\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} ma_{11}&ma_{12}&ma_{13}\\ ma_{21}&ma_{22}&ma_{23}\\ ma_{31}&ma_{32}&ma_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$

  Tích của hai ma trận $A$ và $B$ được ký hiệu là $AB$ và xác định bởi đẳng thức: $AB=\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$.$\begin{align*}\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23}\\ b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} \sum\limits_{j=1}^{3}a_{1j}b_{j1}&\sum\limits_{j=1}^{3}a_{1j}b_{j2}&\sum\limits_{j=1}^{3}a_{1j}b_{j3}\\ \sum\limits_{j=1}^{3}a_{2j}b_{j1}&\sum\limits_{j=1}^{3}a_{2j}b_{j2}&\sum\limits_{j=1}^{3}a_{2j}b_{j3}\\ \sum\limits_{j=1}^{3}a_{3j}b_{j1}&\sum\limits_{j=1}^{3}a_{3j}b_{j2}&\sum\limits_{j=1}^{3}a_{3j}b_{j3}\end{pmatrix}\end{align*}$

 tức là phần tử ở hàng $i$ cột $k$ của ma trận tích bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng ở hàng $i$ của ma trận $A$ và ở cột $k$ của ma trận $B$.

  Luật giao hoán không thỏa mãn đối với tích của hai ma trận: $AB\ne BA$.

  Định thức của tích hai ma trận bằng tích các định thức của các ma trận này.

 Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không: $\begin{align*}\begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\end{align*}=0$.

 Tổng của ma trận này với ma trận $A$ tùy ý lại bằng ma trận $A:A+0=A$.

  Ma trận đơn vị là ma trận: $E=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\end{align*}$.

  Khi nhân ma trận này bên trái hay bên phải với ma trận $A$ ta lại được ma trận $A:EA=AE=A$. Ma trận đơn vị ứng với phép biến đổi tuyến tính đồng nhất. $\left\{\begin{array}{I} x=x'\\ y=y'\\z=z'\end{array}\right.$

 Mỗi ma trận vuông $A$ không suy biến ($D_A\ne 0$) đều có ma trận nghịch đảo.

  Ma trận $B$ được gọi là nghịch đảo đối với ma trận $A$, nếu tích $AB$ bằng ma trận đơn vị: $AB=E$.

  Ma trận nghịch đảo đối với ma trận $A$ được ký hiệu là $A^{-1}$.

  Ma trận nghịch đảo được tính công thức: $A^{-1}=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{A_{11}}{D_A}& \frac{A_{21}}{D_A}&\frac{A_{31}}{D_A}\\ \frac{A_{12}}{D_A}&\frac{A_{22}}{D_A}&\frac{A_{32}}{D_A}\\ \frac{A_{13}}{D_A}&\frac{A_{23}}{D_A}&\frac{A_33}{D_A}\end{pmatrix}\end{align*}$.

trong đó $A_{mn}$ là phần phụ đại số của phần tử $a_{mn}$ của ma trận $A$ trong định thức của nó, nghĩa là lấy định thức con cấp hai nhận được bằng cách bỏ hàng $m$ và cột $n$ trong định thức của ma trận $A$ nhân với $(-1)^{m+n}$.

  Luật giao hoán được thỏa mãn đối với phép nhân các ma trận $A$ và $A^{-1}$, nghĩa là $AA^{-1}=A^{-1}A=E$.

  Ma trận cột là ma trận: $X=\begin{align*}\begin{pmatrix} x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\end{align*}$.

 Tích $AX$ được xác định bởi đẳng thức: $AX=\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$.$\begin{align*}\begin{pmatrix} x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_{2}+a_{13}x_3&a_{21}x_1+a_{22}x_{2}+a_{23}x_3&a_{31}x_1+a_{32}x_{2}+a_{33}x_3\end{pmatrix}\end{align*}$ 

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{I} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\end{array}\right.$.

 có thể viết dưới dạng $AX=B$, trong đó:

$A=\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{31}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$,$X=\begin{align*}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\end{align*}$,$B=\begin{align*}\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\end{align*}$.

  Nghiệm của hệ này có dạng $X=A^{-1}B$ (nếu $D_A\ne 0$).

  Phương trình đặc trưng của ma trận: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$ là phương trình:

$\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda\end{vmatrix}\end{align*}=0$.

  Các nghiệm $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ của phương trình này gọi là các số đặc trưng của ma trận : nó luôn là thực nếu ma trận đang xét là đối xứng.

Hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} (a_{11}-\lambda)\xi_1+a_{12}\xi_2+a_{13}\xi_3=0\\ a_{21}\xi_1+(a_{22}-\lambda)\xi_2+a_{23}\xi_3=0\\ a_{31}\xi_1+a_{32}\xi_2+(a_{33}-\lambda)\xi_3=0\end{array}\right.$

  trong đó $\lambda$ nhận một trong các giá trị $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ và do đó định thức của nó bằng $0$, xác định bộ ba số $(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ tương ứng với số đặc trưng đã cho.

  Bộ ba số $(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ này xác định vector $\vec{r}=\xi_1\vec{i}+\xi_2\vec{j}+\xi_3\vec{k}$ gọi là vector riêng của ma trận.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 05-03-2019 - 09:44

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#3 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 05-03-2019 - 09:44

Các ví dụ:

394. Tìm tổng của các ma trận.

$A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&5&7\\ 2&-1&0\\ 4&3&2\end{pmatrix}\end{align*}$ và $B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&2&4\\2&3&-2\\-1&0&1\end{pmatrix}\end{align*}$.

Giải. Ta có: $A+B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3+1&5+2&7+4\\ 2+2&-1+3&0-2\\4-1&3+0&2+1\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 4&7&11\\ 4&2&-2\\ 3&3&3\end{pmatrix}\end{align*}$.

395. Tìm ma trận $2A+5B$ nếu $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&5\\4&1\end{pmatrix}\end{align*}$, $B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 2&3\\1&-2\end{pmatrix}\end{align*}$

Giải. Ta có:

$2A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 6&10\\8&2\end{pmatrix}\end{align*}$,$5B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 10&15\\5&-10\end{pmatrix}\end{align*}$,$2A+5B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 16&25\\13&-8\end{pmatrix}\end{align*}$

396. Tìm tích $AB$ và $BA$ nếu: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&3&1\\2&0&4\\1&2&3\end{pmatrix}\end{align*}$ và $B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 2&1&0\\1&-1&2\\3&2&1\end{pmatrix}\end{align*}$

Giải. Ta có:

$AB=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1.2+3.1+1.3&1.1+3(-1)+1.2&1.0+3.2+1.1\\2.2+0.1+4.3&2.1+0(-1)+4.2&2.0+0.2+4.1 \\1.2+2.1+3.3&1.1+2(-1)+3.2&1.0+2.2+3.1 \end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 8&0&7\\16&10&4\\13&5&7\end{pmatrix}\end{align*}$

Tương tự ta có: $BA=\begin{align*}\begin{pmatrix} 4&6&6\\1&7&3\\8&11&14\end{pmatrix}\end{align*}$

397. Tìm $A^3$ nếu $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&2\\1&4\end{pmatrix}\end{align*}$

Giải. 

Ta được: $A^2=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&2\\1&4\end{pmatrix}\end{align*}$.$\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&2\\1&4\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 11&14\\7&18\end{pmatrix}\end{align*}$

$A^3=\begin{align*}\begin{pmatrix} 11&14\\7&8\end{pmatrix}\end{align*}$.$\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&2\\1&4\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 47&78\\39&86\end{pmatrix}\end{align*}$

398. Cho phép biến đổi tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I} x=x'+y'+z'\\y=x'+y'\\z=x'\end{array}\right.$ và cho các điểm trong hệ tọa độ $\left\{x',y',z'\right\}$:$(1;-1;1),(3;-2;-1),(-1;-2;-3)$. Xác định tọa độ các điểm này trong hệ $\left\{x,y,z\right\}$.

Giải. Thay tọa độ các điểm vào các đẳng thức xác định phép biến đổi tuyến tính đã cho ta được: nếu $x'=1,y'=-1,z'=1$ thì $x=1,y=0,z=1$, tức là $(1;0;1)$; nếu $x'=3,y'=-2,z'=-1$ thì $x=0,y=1,z=3$, tức là $(0;1;3)$; nếu $x'=-1,y'=-2,z'=-3$ thì $x=-6,y=-3,z=-1$ tức là $(-6;-3;-1)$.

399. Viết phép biến đổi tuyến tính ở ví dụ trên để đưa từ tọa độ $\left\{x,y,z\right\}$ về tọa độ $\left\{x',y',z'\right\}$.

Giải. Ta có: $x'=z$ (từ đẳng thức thứ ba); $y'=y-z$(trừ đẳng thức thứ hai cho đẳng thức thứ ba); $z'=x-y$(trừ đẳng thức thứ nhất cho đẳng thức thứ hai).

400. Cho phép biến đổi tuyến tính: $x=x'+2y';y=3x'+4y'$. Những điểm nào có tọa độ không đổi qua phép biến đổi này?

Giải. Cần tìm $x$ và $y$ sao cho $x=x',y=y'$ hay $x=x+2y,y=3x+4y$. Do đó $x=x'=0,y=y'=0$.

401. Những điểm nào có tọa độ không đổi qua phép biến đổi tuyến tính $x=3x'-2y',y=5x'-4y'?$

Giải. Ta có: $x=3x-2y,y=5x-4y$. Do đó $x=y=x'=y'$, nghĩa là phép biến đổi tuyến tính không làm thay đổi tọa độ của các điểm $(t;t)$ có các tọa độ giống nhau.

402. Tìm giá trị của đa thức ma trận $2A^2+3A+5E$ với $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&3&1\\ 4&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$ và $E$ là ma trận đơn vị cấp ba.

Giải. Ta có: $A^2=\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&3&1\\ 4&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$.$\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&3&1\\ 4&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 10&6&5\\ 8&11&6\\ 9&8&10\end{pmatrix}\end{align*}$

$2A^2=\begin{align*}\begin{pmatrix} 20&12&10\\ 16&22&12\\ 18&16&20\end{pmatrix}\end{align*}$,$3A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&3&6\\ 3&9&3\\ 12&3&3\end{pmatrix}\end{align*}$

$5E=5.\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix} 5&0&0\\ 0&5&0\\ 0&0&5\end{pmatrix}\end{align*}$

$2A^2+3A+5E=\begin{align*}\begin{pmatrix} 28&15&16\\ 19&36&15\\ 30&19&28\end{pmatrix}\end{align*}$

403. Cho hai phép biến đổi tuyến tính.

$\left\{\begin{array}{I} x=a_{11}x'+a_{12}y'\\y=a_{21}x'+a_{22}y' \end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x'=b_{11}x''+b_{12}y''\\y'=b_{21}x''+b_{22}y'' \end{array}\right.$

 Thay $x'$ và $y'$ từ phép biến đổi thứ hai vào phép biến đổi thứ nhất, ta nhận được phép biến đổi tuyến tính biểu diễn $x$ và $y$ qua $x''$ và $y''$. Chứng minh rằng ma trận của phép biến đổi nhận được bằng tích các ma trận của phép biến đổi thứ nhất và phép biến đổi thứ hai.

Giải. Ta có:

$\left\{\begin{array}{I} x=a_{11}(b_{11}x''+b_{12}y'')+a_{12}(b_{21}x''+b_{22}y'')=(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})x''+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})y''\\ y=a_{21}(b_{11}x''+b_{12}y'')+a_{22}(b_{21}x''+b_{22}y'')=(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})x''+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})y'' \end{array}\right.$

  Ma trận của phép biến đổi tuyến tính nhận được có dạng: $\begin{align*}\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{pmatrix}\end{align*}$

nhưng ma trận này là tích các ma trận: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\end{align*}$ và $\begin{align*}\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}\\ b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}\end{align*}$

404. Cho ma trận $\begin{align*}\begin{pmatrix} 5&2\\4&3\end{pmatrix}\end{align*}$. Tìm các số đặc trưng vector riêng của nó.

Giải. Ta lập phương trình đặc trưng $\begin{align*}\begin{vmatrix} 5-\lambda&2\\4&3-\lambda\end{vmatrix}\end{align*}=0$ hay $(5-\lambda)(3-\lambda)-8=0$ nghĩa là $\lambda^2-8\lambda+7=0$. Các số đặc trưng là $\lambda_1=1,\lambda_2=7$. Vector riêng tương ứng với số đặc trưng $\lambda_1$ tìm được từ hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} (5-\lambda_1)\xi_1+2\xi_2=0\\ 4\xi_1+(3-\lambda_1)\xi_2=0\end{array}\right.$

vì $\lambda_1=1$ nên $\xi_1$ và $\xi_2$ liên hệ với nhau bởi hệ thức $2\xi_1+\xi_2=0$. Đặt $\xi_1=\alpha$ ($a$ là số tùy ý) ta được $\xi=-2\alpha$ và vector riêng tương ứng với số đặc trưng $\lambda_1=1$ là vector $\vec{r_1}=\alpha\vec{i}-2\alpha\vec{j}$.

  Để tìm vector riêng thứ hai, ta có: $\left\{\begin{array}{I} (5-\lambda_2)\xi_1+2\xi_2=0\\ 4\xi_1+(3-\lambda_2)\xi_2=0\end{array}\right.$

 Thay giá trị $\lambda_2=7$ ta được hệ thức $\xi_1-\xi_2=0$, nghĩa là $\xi_1=\xi_2=\beta$. Vector riêng ứng với số đặc trưng $\lambda_2$ là $\vec{r_2}=\beta\vec{i}+\beta\vec{j}$.

405. Tìm các số đặc trưng và các vector riêng của ma trận $\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&-1&1\\ -1&5&-1\\ 1&-1&3\end{pmatrix}\end{align*}$

Giải. Ta lập phương trình đặc trưng: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 3-\lambda&-1&1\\ -1&5-\lambda&-1\\ 1&-1&3-\lambda\end{vmatrix}\end{align*}=0$

hay $ơ(3-\lambda)(5-\lambda)(3-\lambda)-1]+(-3+\lambda+1)+(1-5+\lambda)=0$

  Sau các biến đổi đơn giản phương trình đưa về dạng: $(3-\lambda)(\lambda^2-8\lambda+12)=0$ từ đó $\lambda_1=2,\lambda_2=3,\lambda_3=6$.

  Ta tìm vector riêng tương ứng với số đặc trưng $\lambda_1=2$.

Từ hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} \xi_1-\xi_2+\xi_3=0\\ -\xi_1+3\xi_2-\xi_3=0\\ \xi_1-\xi_2+\xi_3=0\end{array}\right.$.

( một trong các phương trình của hệ này là hệ quả của hai phương trình kia và có thể bỏ đi) ta thấy rằng $\xi_2=0,\xi_3=-\xi_1$. Đặt $\xi_1=\alpha$, khi đó $\xi_2=0,\xi_3=-\alpha$ và $\vec{r_1}=\alpha\vec{i}-\alpha\vec{k}$.

  Để tìm vector riêng tương ứng với giá trị $\lambda_2=3$, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} -\xi_2+\xi_3=0\\ -\xi_1+2\xi_2-\xi_3=0\\ \xi_1-\xi_2=0\end{array}\right.$.

(một trong các phương trình này là hệ quả của hai phương trình kia). Từ đó ta được: $\xi_1=\xi_2=\xi_3=\beta$ và $\vec{r_2}=\beta\vec{i}+\beta\vec{j}+\beta\vec{k}$

  Để tìm vector riêng tương ứng với $\lambda_3=6$, ta lập hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} -3\xi_1-\xi_2+\xi_3=0\\ -\xi_1-\xi_2-\xi_3=0\\\xi_1-\xi_2-3\xi_3=0\end{array}\right.$

(một trong các phương trình là hệ quả của hai phương trình kia). Giải hệ ta được: $\xi_1=\gamma,\xi_2=-2\gamma,\xi_3=\gamma$ và $\vec{r_3}=\gamma \vec{i}-2\gamma\vec{j}+\gamma\vec{k}$.

Vậy, các vector riêng của ma trận đã cho là: $\vec{r_1}=\alpha(\vec{i}-\vec{k}),\vec{r_2}=\beta(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k});\vec{r_3}=\gamma(\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k})$, trong đó $\alpha,\beta,\gamma$ là các số tùy ý khác không.

406. Cho ma trận $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&2&2\\1&3&1\\5&3&4 \end{pmatrix}\end{align*}$. Tìm ma trận nghịch đảo.

Giải. Ta tính định thức ma trận $A:D_A=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2&2\\1&3&1\\5&3&4\end{vmatrix}\end{align*}$=$27+2-24=5$.

Tìm các phần phụ đại số của các phần tử của thức này: 

$A_{11}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&1\\3&4 \end{vmatrix}\end{align*}=9$,$A_{21}=-\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&2\\3&4 \end{vmatrix}\end{align*}=-2$,$A_{31}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&2\\3&1 \end{vmatrix}\end{align*}=-4$,$A_{12}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1\\5&4 \end{vmatrix}\end{align*}=1$,$A_{22}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\5&4 \end{vmatrix}\end{align*}=2$,$A_{32}=-\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\1&1\end{vmatrix}\end{align*}=-1$,$A_{13}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&3\\5&3 \end{vmatrix}\end{align*}=-12$,$A_{23}=-\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\5&3 \end{vmatrix}\end{align*}=1$,$A_{33}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\1&3 \end{vmatrix}\end{align*}=7$.

Do đó: $A^{-1}=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{9}{5}&\frac{-2}{5}&\frac{-4}{5}\\ \frac{1}{5}&\frac{2}{5}&\frac{-1}{5}\\\frac{-12}{5}&\frac{1}{5}&\frac{7}{5} \end{pmatrix}\end{align*}$

407. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} 2x+3y+2z=9\\x+2y-3z=14\\ 3x+4y+z=16 \end{array}\right.$

bằng cách biểu diễn nó dưới dạng phương trình ma trận.

Giải. Ta viết hệ phương trình dưới dạng $A.X=B$, trong đó: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 2&3&2\\1&2&-3\\3&3&1 \end{pmatrix}\end{align*}$,$x=\begin{align*}\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\end{align*}$,$B=\begin{align*}\begin{pmatrix} 9\\14\\16 \end{pmatrix}\end{align*}$

 Nghiệm của phương trình ma trận có dạng $X=A^{-1}B$. Ta tìm $A^{-1}$. Ta có: 

$D_A=\begin{align*}\begin{vmatrix} 2&3&2\\1&2&-3\\3&4&1 \end{vmatrix}\end{align*}=28-30-4=-6$.

Ta tính các phần phụ đại số của các phần tử của định thức này $A_{11}=\begin{align*}\begin{vmatrix}2&-3\\4&1\end{vmatrix}\end{align*}=14$,$A_{21}=-\begin{align*}\begin{vmatrix}3&2\\4&1\end{vmatrix}\end{align*}=5$,$A_{31}=\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&2\\2&-3\end{vmatrix}\end{align*}=-13$,$A_{12}=-\begin{align*}\begin{vmatrix}1&-3\\3&1\end{vmatrix}\end{align*}=-10$,$A_{22}=\begin{align*}\begin{vmatrix}2&2\\3&1\end{vmatrix}\end{align*}=-4$,$A_{32}=-\begin{align*}\begin{vmatrix}2&2\\1&-3\end{vmatrix}\end{align*}=8$,$A_{13}=\begin{align*}\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\end{align*}=-2$,$A_{23}=-\begin{align*}\begin{vmatrix}2&3\\3&4\end{vmatrix}\end{align*}=1$,$A_{33}=\begin{align*}\begin{vmatrix}2&3\\1&2\end{vmatrix}\end{align*}=1$.

Do đó: $A^{-1}=\frac{-1}{6}\begin{align*}\begin{pmatrix}14&5&-13\\-10&-4&8\\-2&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$

từ đó: $X=\frac{-1}{6}\begin{align*}\begin{pmatrix}14&5&-13\\-10&-4&8\\-2&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$.$\begin{align*}\begin{pmatrix} 9\\14\\16\end{pmatrix}\end{align*}$=$\frac{-1}{6}\begin{align*}\begin{pmatrix}126+70-208\\-90-56+128\\-18+14+16\end{pmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{pmatrix}2\\3\\-2\end{pmatrix}\end{align*}$

Do đó $x=2,y=3,z=-2$.

408. Chuẩn hòa vector $\vec{x}=3\vec{i}+4\vec{j}+12\vec{k}$.

Giải. Chuẩn hóa vector $\vec{x}=\xi_1\vec{i}+\xi_2\vec{j}+\xi_3\vec{k}$ có nghĩa là tìm vector đơn vị cùng hướng. Vector như thế sẽ là: $\vec{x_0}=\frac{\xi_1\vec{i}+\xi_2\vec{j}+\xi_3\vec{k}}{\sqrt{\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2}}$

Trong trường hợp đã cho: $\vec{x_0}=\frac{3}{13}\vec{i}+\frac{4}{13}\vec{j}+\frac{12}{13}\vec{k}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-03-2019 - 22:18

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#4 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 06-03-2019 - 22:25

PHẦN 3: ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT BẬC HAI VỀ DẠNG CHÍNH TẮC.

Các biểu thức dạng: $a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2$ và $a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz$ gọi là dạng toàn phương ứng với hai và ba biến.

 Các ma trận đối xứng: $A_{2}^{(2)}=\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\end{align*}$, trong đó $a_{12}=a_{21}$ và $A_{3}^{(3)}\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\end{align*}$, trong đó $a_{21}=a_{12},a_{31}=a_{13},a_{32}=a_{23}$ gọi là các ma trận của các dạng này. 

   Nhờ phép biến đổi tuyến tính của các biến ta có thể đưa các dạng toàn phương về các dạng không chứa tích của các biến mới (như người ta nói, đưa về tổng đại số của các bình phương); nói cách khác, dạng toàn phương của hai biến có thể đưa về dạng: $\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2$, còn dạng toàn phương của ba biến có thể đưa về dạng: $\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2$.

  Khi đó các hệ số $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ chín là các số đặc trưng của ma trận của dạng tương ứng.

  Phép biến đổi tuyến tính tương ứng của các biến có thể tìm như sau: ta xác định ba (đối với dạng toàn phương hai biến là hai) vector riêng chuẩn hóa trực giao giao từng cặp, tương ứng với các số đặc trưng $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$: $\left\{\begin{array}{I}\vec{e_1}=\alpha_1\vec{i}+\beta_1\vec{j}+\gamma_1\vec{k}\\ \alpha_2\vec{i}+\beta_2\vec{j}+\gamma_2\vec{k}\\ \alpha_3\vec{i}+\beta_3\vec{j}+\gamma_3\vec{k}\end{array}\right.$

  Do tính chuẩn và trực giao của các vector $\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$, cần phải thỏa mãn các đồng nhất thức: $\alpha_i^2+\beta_i^2+\gamma_i^2=1,i=1,2,3;\alpha_i\alpha_j+\beta_i\beta_j+\gamma_i\gamma_j=0,i,j=1,2,3,i\ne j$.

Khi đó ma trận của phép biến đổi có dạng: $S=\begin{align*}\begin{pmatrix} \alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \beta_1&\beta_2&\beta_3\\ \gamma_1&\gamma_2&\gamma_3\end{pmatrix}\end{align*}$; nói cách khác, cần phải đặt: $\left\{\begin{array}{I}x=\alpha_1x'+\alpha_2y'+\alpha_3z'\\ y=\beta_1x'+\beta_2y'+\beta_3z'\\ x=\gamma_1x'+\gamma_2y'+\gamma_3z'\end{array}\right.$

  (Đối với trường hợp hai biến tất cả các công thức tương ứng đều được rút gọn). Phép biến đổi tuyến tính như vậy của các biến mang tên là phép biến đổi tuyến tính trực giao: đối với phép biến đổi ấy định thức của ma trận $S$ bằng $\pm 1:D_s=\pm 1$.

  Phép biến đổi tuyến tính trực giao được sử dụng để đưa phương trình tổng quát của đường hay mặt bậc hai về dạng chính tắc, khi đó nếu muốn giữ nguyên cách định hướng trong hỗ của các trục tọa độ mới ta phải đặt thêm điều kiện phụ cho ma trận $S$ của phép biến đổi: $D_s=+1$.

 - Việc đưa phương trình của đường hay mặt bậc hai về dạng chính tắc được tiến hành như sau:

a) tìm phép biến đổi tuyến tính trực giao của các tọa độ để đưa dạng toàn phương của các số hạng bậc cao của phương trình đường hay mặt về tổng các bình phương và thực hiện phép thay biến tương ứng trong phương trình; kết quả của phép biến đổi này là loại khỏi phương trình các số hạng chứa tích của các tọa độ;

b) sau đó thực hiện phép tịnh tiến song song các trục tọa độ mới (trong không gian đôi khi phải thực hiện thêm phép quay hai trục trong một mặt phẳng tọa độ) để đưa phương trình về dạng chính tắc cần thiết.

Các ví dụ: Đưa về dạng chính tắc phương trình đường bậc hai: $5x^2+4xy+8y^2-32x-56y+80=0$.

Giải. Trong trường hợp này ma trận của các số hạng bậc cao có dạng: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 5&2\\2&8\end{pmatrix}\end{align*}$

  Ta lập phương trình đặc trưng của ma trận: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 5-\lambda&2\\ 2&8-\lambda\end{vmatrix}\end{align*}=0$ nghĩa là $\lambda^2-13\lambda+36=0$.

  Ta được các số đặc trưng $\lambda_1=4,\lambda_2=9$. Đặt $\lambda_1=4$, để xác định vector riêng tương ứng ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} \xi_1+2\xi_2=0\\ 2\xi_1+4\xi_2=0\end{array}\right.$

Từ đó $\xi_1=-2\xi_2$; đặt $\xi_2=-\alpha$ ta được $\xi_2=2\alpha$ và $\vec{r_1}=\alpha(2\vec{i}-\vec{j})$. Chuẩn hóa vector $\vec{r_1}:\vec{e_1}=\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{i}-\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{j}$.

Đặt $\lambda_2=9$, để xác định vecto riêng thứ hai ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{I} -4\xi_1+2\xi_2=0\\ 2\xi_1-\xi_2=0\end{array}\right.$

Từ đó $\xi_2=2\xi_1$ và $\vec{r_2}=\beta(\vec{i}+2\vec{j})$. Chuẩn hóa, ta được: $\vec{e_2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\vec{i}+\frac{2}{\sqrt{5}}\vec{j}$.

Các vector $\vec{e_1}$ và $\vec{e_2}$ trực giao: $\vec{e_1}.\vec{e_2}=0$.

  Ta dùng các vector riêng trực chuẩn để xây dựng ma trận của phép biến đổi tọa độ.

$S=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}}& \frac{1}{\sqrt{5}}\\ \frac{-1}{\sqrt{5}}& \frac{2}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}\end{align*};D_s=+1$.

Từ đó $x=\frac{2}{\sqrt{5}}x'+\frac{1}{\sqrt{5}}y',y=\frac{-1}{\sqrt{5}}x'+\frac{2}{\sqrt{5}}y'$.

Thay các giá trị của $x$ và $y$ vào phương trình của đường:

$5(\frac{2}{\sqrt{5}}x'+\frac{1}{\sqrt{5}}y')^2+4(\frac{2}{\sqrt{5}}x+\frac{1}{\sqrt{5}}y').(\frac{-1}{\sqrt{5}}x'+\frac{2}{\sqrt{5}}y')+8(\frac{-1}{\sqrt{5}}x'+\frac{2}{\sqrt{5}}y')^2-32(\frac{2}{\sqrt{5}}x'+\frac{1}{\sqrt{5}}y')-56(\frac{-1}{\sqrt{5}}x'+\frac{2}{\sqrt{5}}y')+80=0$, sau khi phá ngoặc và rút gọn các số hạng đồng dạng ta được: $4x'^2+9y'^2-\frac{8}{\sqrt{5}}x'-\frac{144}{\sqrt{5}}y'+80=0$.

  Bạn đọc lưu ý rằng trong phương trình đã được biến đổi các hệ số của $x'^2+y'^2$ chính là các số đặc trưng $\lambda_1$ và $\lambda_2$. Ta viết phương trình dưới dạng $4(x'^2-\frac{2}{\sqrt{5}}x')+9(y'^2-\frac{16}{\sqrt{5}}y')+80=0$.

  Bổ sung các biểu thức trong ngoặc thành những chính phương: $4(x'^2-\frac{2}{\sqrt{5}}x'+\frac{1}{5}-\frac{1}{5})+9(y'^2-\frac{16}{\sqrt{5}}y'+\frac{64}{5}-\frac{64}{5})+80=0$.

hay $4(x'-\frac{1}{\sqrt{5}})^2-\frac{4}{5}+9(y'-\frac{8}{\sqrt{5}})^2-\frac{576}{5}+80=0$, cuối cùng ta được $4(x'-\frac{1}{\sqrt{5}})^2+9(y'-\frac{8}{\sqrt{5}})^2=36$.

 Thực hiện phép tịnh tiến song song các trục tọa độ bằng cách đặt $x''=x'-\frac{1}{\sqrt{5}},y''=y'-\frac{8}{\sqrt{5}}$

ta được: $4x''^2+9y''^2=36$ hay $\frac{x''^2}{9}+\frac{y''^2}{4}=1$.

 (phương trình chính tắc của elip).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 15-03-2019 - 06:13

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#5 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 18-03-2019 - 05:36

Các ví dụ:

410. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường $9x^2+24xy+16y^2-230x+110y-225=0$.

Giải. Phương trình đặc trưng có dạng: $\begin{align*}\begin{vmatrix} (9-\lambda)&12\\12& (16-\lambda)\end{vmatrix}\end{align*}=0$ hay $\lambda^2-25\lambda=0$, tức là $\lambda_1=0,\lambda_2=25$.

  Với $\lambda=0$ ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} 9\xi_1+12\xi_2=0\\ 12\xi_1+16\xi_2=0\end{array}\right.$

 Mỗi phương trình này đều dẫn tới phương trình $\frac{\xi_1}{4}=\frac{\xi_2}{-3}$. Do đó vecto riêng của ma trận là $\vec{r}=\alpha(4\vec{i}-3\vec{j})$, còn vecto riêng chuẩn hóa $\vec{e_1}$ nhận được khi $\alpha=\frac{1}{5}:\vec{e_1}=\frac{4}{5}\vec{i}-\frac{3}{5}\vec{j}$.

Với $\lambda=25$ ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array} -16\xi_1+12\xi_2=0\\ 12\xi_1-9\xi_2=0\end{array}\right.$

 Từ hệ này ta tìm được vecto riêng chuẩn hóa thứ hai $\vec{e_2}=\frac{3}{5}\vec{i}+\frac{4}{5}\vec{j}(\vec{e_1}.\vec{e_2}=0)$.

 Ma trận của phép biến đổi tọa độ có dạng $S=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{4}{5}&\frac{3}{5}\\ \frac{-3}{5}&\frac{4}{5}\end{pmatrix}\end{align*}(D_s=+1)$;

các công thức biến đổi $x=\frac{4}{5}x'+\frac{3}{5}y',y=\frac{-3}{5}x'+\frac{4}{5}y'$.

 Viết phương trình của đường dưới dạng: $(3x+4y)^2-230x+110y-225=0$ ta đưa về các tọa độ mới: $25y'^2-230(\frac{4}{5}x'+\frac{3}{5}y')+110(\frac{-3}{5}x'+\frac{4}{5}y')-225=0$.

  Sau khi rút gọn các số hạng đồng dạng và giản ước cho $25$, ta đi tới phương trình: $y'^2-10x'-2y'-9=0$.

 Phương trình cuối cùng có thể viết lại dưới dạng $(y'-1)^2=10(x'+1)$. Thực hiện phép tịnh tiến song song các trục, lấy điểm $O'(-1;1)$ làm gốc tọa độ mới. Kết cục ta đi tới phương trình chính tắc của đường đã cho $y''^2=10x''$ (parabôn).

411. Đưa về dạng chính tắc phương trình của mặt $3x^2+5y^2+3z^2-2xy+2xz-2yz-12x-10=0$.

Giải. Trong ví dụ này ma trận của các số hạng bậc cao trong phương trình của mặt có dạng $\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&-1&1\\-1&5&-1\\1&-1&3\end{pmatrix}\end{align*}$ các số đặc trưng của ma trận được xác định từ phương trình: $\begin{align*}\begin{vmatrix} (3-\lambda)&-1&1\\-1&(5-\lambda)&-1\\1&-1&(3-\lambda)\end{vmatrix}\end{align*}=0$ hay $(3-\lambda)(\lambda^2-8\lambda+12)=0$; từ đó ta tìm được $\lambda_1=2,\lambda_2=3,\lambda_3=6$.

 Với $\lambda_2$ ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} u_1-u_2+u_3=0\\ -u_1+3u_2-u_3=0\\ u_1-u_2+u_3=0\end{array}\right.$

Vecto riêng tương ứng với giá trị $\lambda$ này là $(\alpha;0;-\alpha)$. Sau khi chuẩn hóa ta được vecto $\vec{e_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{k}$.

 Với $\lambda=3$ ta được hệ: $\left\{\begin{array}{I} -v_2+v_3=0\\ -v_1+2v_2-v_3=0\\ v_1-v_2=0\end{array}\right.$

 Từ đó ta được vecto riêng chuẩn hóa thứ hai $\vec{e_2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{i}+\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}+\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{k}$. Các vecto $\vec{e_1}$ và $\vec{e_2}$ trực giao: $\vec{e_1}.\vec{e_2}=0$.

 Với $\lambda=6$ ta được hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} -3w_1-w_2+w_3=0\\ -w_1-w_2-w_3=0\\ w_1-w_2-3w_3=0\end{array}\right.$

  Vecto riêng chuẩn hóa (thứ ba) tương ứng là $\vec{e_3}=\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{i}-\frac{2}{\sqrt{6}}\vec{j}+\frac{1}{\sqrt{6}}\vec{k}$ nó trực giao với các vecto $\vec{e_1}$ và $\vec{e_2}:\vec{e_1}.\vec{e_3}=0,\vec{e_2}.\vec{e_3}=0$. Ta được ma trận của phép biến đổi tọa độ: $S=\begin{align*}\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{2}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}\end{align*}$.

Từ đó ta được công thức biến đổi tọa độ: $x=\frac{1}{\sqrt{2}}x'+\frac{1}{\sqrt{3}}y'+\frac{1}{\sqrt{6}}z',y=\frac{1}{\sqrt{3}}y'-\frac{2}{\sqrt{6}}z',z=-\frac{1}{\sqrt{2}}x'+\frac{1}{\sqrt{3}}y'+\frac{1}{\sqrt{6}}z'$.

 Thay các giá trị của $x,y,z$ vào phương trình của mặt; sau khi giản ước ta được: $2x'^2+3y'^2+6z'^2-6\sqrt{2}x'-4\sqrt{3}y'-2\sqrt{6}z'-10=0$.

  Các hệ số của $x'^2,y'^2,z'^2$ phải là các số $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ tương ứng.

Ta viết phương trình dưới dạng $2(x'^2-\frac{6}{\sqrt{2}}x')+3(y'^2-\frac{4}{\sqrt{3}}y')+6(z'^2-\frac{2}{\sqrt{6}z'})=10$.

Sau khi bổ sung các biểu thức trong ngoặc thành các chính phương ta có:

$2(x'-\frac{3}{\sqrt{2}})^2+3(y'-\frac{2}{\sqrt{3}})^2+6(z'-\frac{1}{\sqrt{6}})^2=24$.

 Thực hiện phép tịnh tiến song song các trục tọa độ: $x'=x''+\frac{3}{\sqrt{2}},y'=y''+\frac{2}{\sqrt{3}},z'=z''+\frac{1}{\sqrt{6}}$ và chia phương trình cho $24$ ta đi tới phương trình chính tắc của elipxoit $\frac{x''^2}{12}+\frac{y''^2}{8}+\frac{z''^2}{4}=1$.

412. Cho ma trận: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 5&8&4\\3&2&5\\7&6&0\end{pmatrix}\end{align*}$. Cần thêm vào ma trận $A$ một ma trận $B$ như thế nào để được ma trận đơn vị?

413. Cho ma trận: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 2&1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$. Tính tổng $A^2+A+E$.

414. Cho ma trận: $A=\begin{align*}\begin{pmatrix} 10&20&-30\\0&10&20\\0&0&10\end{pmatrix}\end{align*}$

Tìm ma trận nghịch đảo.

415. Cho hai phép biến đổi tuyến tính.

$\left\{\begin{array}{I} x=a_{11}x'+a_{12}y'+a_{13}z'\\ y=a_{21}x'+a_{22}y'+a_{23}z'\\ z=a_{31}x'+a_{32}y'+a_{33}z'\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x'=b_{11}x''+b_{12}y''+b_{13}z''\\ y=b_{21}x''+b_{22}y''+b_{23}z''\\ z=b_{31}x''+b_{32}y''+b_{33}z''\end{array}\right.$

  Thay $x',y',z'$ từ phép biến đổi thứ hai vào phép biến đổi thứ nhất ta được phép biến đổi tuyến tính biểu diễn $x,y,z$ qua $x'',y'',z''$. Chứng minh rằng ma trận của phép biến đổi nhận được bằng tích các ma trận của các phép biến đổi thứ nhất và thứ hai.

416. Tìm các số đặc trưng và các vecto riêng chuẩn hóa tương ứng của ma trận: $\begin{align*}\begin{pmatrix} 7&4\\5&6\end{pmatrix}\end{align*}$

417. Tìm các số đặc trưng và các vecto riêng của ma trận $\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&1&3\\1&5&1\\3&1&1\end{pmatrix}\end{align*}$

418. Đưa về dạng chính tắc phương trình đường bậc hai: $5x^2+6xy+5y^2-16x-16y-16=0$.

419. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} 3x+4y=11\\ 5y+6z=28\\x+2z=7 \end{array}\right.$ bằng cách viết nó dưới dạng phương trình ma trận.

420. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường bậc hai.

$7x^2+16xy-23y^2-14x-16y-218=0$.

421. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường bậc hai.

$x^2+2xy+y^2-8x+4=0$.

422. Đưa về dạng chính tắc phương trình của đường mặt bậc hai.

$x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-6=0$.

Hướng dẫn: các công thức biến đổi tọa độ: $\left\{\begin{array}{I} x=\frac{1}{\sqrt{3}}x'+\frac{1}{\sqrt{6}}y'+\frac{1}{\sqrt{2}}z'\\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x'+\frac{2}{\sqrt{6}}y'\\ z=\frac{1}{\sqrt{3}}x'+\frac{1}{\sqrt{6}}y'-\frac{1}{\sqrt{2}}z'\end{array}\right.$

423. Đưa về dạng chính tắc phương trình của mặt bậc hai $2x^2+y^2+2z^2-2xy-2yz+x-4y-3z+2=0$.

Hướng dẫn: các công thức biến đổi tọa độ:

$\left\{\begin{array}{I} x=-\frac{1}{\sqrt{6}}x'-\frac{1}{\sqrt{2}}y'+\frac{1}{\sqrt{3}}z'\\ y=-\frac{2}{\sqrt{6}}x'-\frac{1}{\sqrt{3}}z'\\ z=-\frac{1}{\sqrt{6}}x'+\frac{1}{\sqrt{2}}y'+\frac{1}{\sqrt{3}}z'\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x'=x''\\ y'=y''+\frac{1}{\sqrt{2}}\\ z'=z''+\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right.$

424. Cho phép biến đổi tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I} x=6x'+y'-2z'\\ y=-18x'+2y'+6z'\\ z=2x'+2y'\end{array}\right.$

Những điểm nào có tọa độ tăng gấp đôi qua phép biến đổi này?

425. Cho hai phép biến đổi tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I} x=x'+y'+2z'\\ y=x'+2y'+6z'\\ z=2x'+3y'\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{I} x=2x'+2z'\\ x=x'+3y'+4z'\\ z=x'+3y'+2z'\end{array}\right.$

Tìm những điểm mà qua các phép biến đổi này cho cùng một kết quả.

426. Tìm những điểm mà các tọa độ của chúng không đổi qua phép biến đổi tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I} x=x'cos \alpha-y'sin \alpha\\ y=x'sin \alpha+y' cos \alpha \end{array}\right.$

427.  Tìm quỹ tích các điểm mà các tọa độ của chúng thay đổi vị trí qua phép biến đổi tuyến tính $\left\{\begin{array}{I} x=x'cos \alpha-y'sin \alpha\\ y=x'sin \alpha+y'cos \alpha\end{array}\right.$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 30-03-2019 - 04:58

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.

#6 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 30-03-2019 - 05:15

Phần 4: Hạng của ma trận. Các ma trận tương đương.

Cho ma trận chữ nhật: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\ ...\\ a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{pmatrix}\end{align*}$

Trong ma trận này ta lấy ra $k$ hàng và $k$ cột tùy ý ($k\le m,k\le n$). Định thức cấp $k$ thành lập từ các phần tử của ma trận $A$ nằm ở chỗ giao nhau của các hàng và các cột lấy ra đó được gọi là định thức con cấp $k$ của ma trận $A$. Ma trận $A$ có $C_{m}^{k}.C_{n}^{k}$ định thức con cấp $k$.

  Ta xét tất cả các định thức con khác không của ma trận $A$. Hạng của ma trận $A$ là cấp cao nhất của định thức con khác không của ma trận $A$. Nếu tất cả các phần tử của ma trận $A$ đều bằng $0$, thì hạng của ma trận này được xem là bằng $0$.

 Định thức con khác không bất kỳ của ma trận, mà cấp của nó bằng hạng của ma trận này, được gọi là định thức con cơ sở của ma trận.

  Hạng của ma trận $A$ được ký hiệu là $r(A)$. Nếu $r(A)=r(B)$ thì các ma trận $A$ và $B$ được gọi là tương đương. Khi đó ta viết $A\sim B$.

  Cần chú ý rằng hạng của ma trận không đổi qua các phép biến đổi sơ cấp. Các phép biến đổi sơ cấp là:

1. Thay hàng bằng cột và cột bằng hàng tương ứng;

2. đổi chỗ các hàng của ma trận;

3. bỏ đi các hàng có tất cả các phần tử bằng $0$;

4. nhân hàng nào đó với một số khác $0$;

5. thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử tương ứng của một hàng khác.

Các ví dụ:

428. Xác định hạng của ma trận: $\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&2&3&4\\2&4&6&8\\3&6&9&12\end{pmatrix}\end{align*}$

Giải. Tất cả các định thức con cấp hai và cấp ba của ma trận này đều bằng không, vì các phần tử ở các hàng của các định thức con này tỷ lệ. Các định thức con cấp một (chính các phần tử của ma trận) khác không. Do đó hạng của ma trận bằng 1.

429. Xác định hạng của ma trận $\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&0&0&0&5\\ 0&0&0&0&0\\2&0&0&0&11 \end{pmatrix}\end{align*}$

Giải. Bỏ đi hàng hai của ma trận này và sau đó bỏ các cột hai,ba và bốn ta được ma trận $\begin{align*}\begin{pmatrix} 1&5\\2&11 \end{pmatrix}\end{align*}$ tương đương với ma trận đã cho. Vì $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&5\\2&11 \end{vmatrix}\end{align*}$=$1\ne 0$ nên hạng của ma trận đã cho bằng 2.

430. Xác định hạng của ma trận $\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&5&7\\ 1&2&3\\1&3&5 \end{pmatrix}\end{align*}$

Giải: Cộng các phần tử tương ứng của hàng đầu và hàng 3: $\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&5&7\\ 1&2&3\\1&3&5 \end{pmatrix}\end{align*}$,$\sim \begin{align*}\begin{pmatrix} 4&8&12\\ 1&2&3\\1&3&5 \end{pmatrix}\end{align*}$

Chia các phần tử ở hàng đầu cho $4$: $\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&5&7\\ 1&2&3\\1&3&5 \end{pmatrix}\end{align*}$,$\sim \begin{align*}\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 1&2&3\\1&3&5 \end{pmatrix}\end{align*}$.

Lấy các phần tử ở hàng đầu trừ đi các phần tử tương ứng ở hàng hai: $\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&5&7\\ 1&2&3\\1&3&5 \end{pmatrix}\end{align*}$, $\sim \begin{align*}\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&2&3\\1&3&5 \end{pmatrix}\end{align*}$

Bỏ hàng đầu: $\begin{align*}\begin{pmatrix} 3&5&7\\ 1&2&3\\1&3&5 \end{pmatrix}\end{align*}$ ,$\sim \begin{align*}\begin{pmatrix}  1&2&3\\1&3&5 \end{pmatrix}\end{align*}$

Hạng của ma trận cuối cùng bằng $2$ vì, chẳng hạn,$\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&5\\2&11 \end{vmatrix}\end{align*}\ne 0$. Do đó hạng của ma trận đã cho cũng bằng $2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 24-10-2019 - 06:03

  •  “Không nên quan niệm nghiên cứu khoa học là những gì quá cao xa. Nghiên cứu khoa học đôi khi chỉ là đọc, tìm hiểu một bài báo hay một vấn đề đã được nói tới, tìm hiểu những điều đã biết hoặc chưa biết. Miễn là, bạn phải làm việc một cách nghiêm cẩn, trung thực.” - GS. Ngô Bảo Châu.
  • Buddha, once said: " But if you are a monk or a novice monk, you must meditate and practice walking meditation. You neek to walk, so you can concentrate on where you're walking. You need to meditate because so you can have mindfulness. If you have mindfulness when you're doing your work, so you can't make mistake. When you have mindfulness, our soul will have power, so you can give loving and kindness to our mom, dad, brother and friends. When we have mindfulness when some strangers came go punch us, so we don't punch back. Or when somebody is angry with us, so we are not angry back. Everything I said is by doing meditation so finally we want all of you to meditate. "
  • Người ngu dù trong đời, thân cận người có trí, không học được đạo lý như muỗng với thức ăn.
  • Người trí dù một khắc, thân cận bậc minh sư, học đạo lý nhiệm mầu như lưỡi biết thức ăn.
  • Trong núi vốn không có Phật. Phật ở trong tâm ta. Nếu tâm lắng và trí tuệ xuất hiện, đó chính là Phật. Nếu bệ hạ giác ngộ được tâm ấy thì tức khắc thành Phật ngay tại chỗ, không cần đi tìm cực khổ bên ngoài.- Hòa Thượng Pháp Vân.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh