Phần 1: KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC CẤP $n$.
Định thức cấp bốn tương ứng với bảng các phần tử: $\begin{align*}\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}\end{align*}$ được xác định bởi đẳng thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$=$a_{11}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$-$a_{12}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$+$a_{13}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}\end{align*}$-$a_{14}.\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}\end{align*}$.
Tương tự, nhờ định thức cấp bốn ta có thể định nghĩa định thức cấp năm v.v...
Các định nghĩa về định thức con và phần phụ đại số của phần tử nào đó và cả hai định lý về các phần phụ đại số đã phát biểu đối với định thức cấp ba vẫn còn có hiệu lực đối với định thức cấp tùy ý.
Do đó, nếu gọi $M_{jk}$ là định thức con và $A_{jk}$ là phần phụ đại số của phần tử $a_{jk}$ của định thức cấp $n$ (nghĩa là phần tử ở hàng $j$ và cột $k$ của định thức này), thì ta có: $A_{jk}=(-1)^{j+k}M_{jk}$.
Giả sử $D$ là định thức cấp $n$. Đầu tiên khai triển nó theo các phần tử của hàng $j$ và sau đó theo các phần tử của cột $k$ (theo định lý thứ nhất về các phần phụ đại số) ta được: $D=a_{j1}A_{j1}+a_{j2}A_{j2}+...+a_{jn}A_{jn}$; và $D=a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+...+a_{nk}A_{nk}$.
Mặt khác khi $j\ne i$ và $k\le l$ (theo định lý thứ hai về các phần phụ đại số) ta có: $a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+...+a_{jn}A_{in}=0$ và $a_{1k}A_{1l}+a_{2k}A_{2l}+...+A_{nk}A_{nl}=0$.
Các tính chất của định thức cấp hai và cấp ba đã phát biểu ở Phần 5, chương I cũng đúng đối với các định thức cấp tùy ý.
Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: $\left\{\begin{array}{I}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n\end{array}\right.$
với định thức: $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}\end{align*}\ne 0$.
tìm được theo các công thức: $x_1=\frac{D_1}{D};x_2=\frac{D_2}{D};...;x_n=\frac{D_n}{D}$.
Trong các công thức này $D$ là định thức của hệ còn $D_k(k=1,2,...,n)$ là định thức nhận được từ hệ bằng cách thay cột $k$ (tức là cột các hệ số của ẩn $x_k$) bằng cột các số hạng tự do :
$\begin{align*}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1,k-1}&b_1&a_{1,k+1}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2,k-1}&b_2&a_{2,k+1}&...&a_{2n}\\ ...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{n,k-1}&b_n&a_{n,k+1}&...&a_{nn} \end{vmatrix}\end{align*}$.
Các ví dụ:
383. Tính định thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&5&7&2\\ 1&2&3&4\\ -2&-3&3&2\\ 1&3&5&4 \end{vmatrix}\end{align*}$.
Giải. 1) Lấy các phần tử của hàng đầu trừ đi ba lần các phần tử tương ứng của hàng hai.
2) Thêm hai lần các phần tử của hàng hai vào các phần tử tương ứng của hàng ba.
3) Lấy các phần tử của hàng bốn trừ đi các phần tử tương ứng của hàng hai.
Định thức đã cho biến thành dạng: $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 0&-1&-2&-10\\ 1&2&3&4\\ 0&1&9&10\\ 0&1&2&0 \end{vmatrix}\end{align*}$
Khai triển định thức này theo các phần tử ở cột đầu: $D=-\begin{align*}\begin{vmatrix} -1&-2&-10 \\ 0&7&10\\ 1&2&0 \end{vmatrix}\end{align*}$.
Ta khai triển định thức theo các phần tử của cột đầu: $D=-\begin{align*}\begin{vmatrix} 0&-10\\ 7&10 \end{vmatrix}\end{align*}=-70$.
384. Tính định thức: $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&0&0&0\\ 3&2&3&0&0\\ 0&4&3&4&0\\ 0&0&5&4&5\\ 0&0&0&6&5 \end{vmatrix}\end{align*}$.
Giải. Ta mang các nhân thức chung của cột hai, cột bốn và cột năm ra ngoài dấu định thức:
$D=2.2.5.\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&0&0&0\\ 3&1&3&0&0\\ 0&2&3&2&0\\ 0&0&5&2&1\\ 0&0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$
Lấy các phần tử ở cột hai trừ đi các phần tử tương ứng ở cột một $D=20.\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&0&0&0&0\\ 3&-2&3&0&0\\ 0&2&3&2&0\\ 0&0&5&2&1\\ 0&0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$
Khai triển định thức theo các phần tử ở hàng đầu:
$D=20.\begin{align*}\begin{vmatrix} -2&3&0&0\\ 2&3&0&0\\ 0&5&2&1\\ 0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$
Thêm các phần tử của hàng đầu vào các phần tử của hàng hai và mang $-2$ (nhân thức chung của các phần tử ở cột đầu) ra ngoài dấu định thức: $D=-40.\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&3&0&0\\ 0&6&2&0\\ 0&5&2&1\\ 0&0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$
Khai triển định thức theo các phần tử ở cột đầu: $D=-40.\begin{align*}\begin{vmatrix} 6&2&0\\ 5&2&1\\ 0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$.
Lấy các phần tử ở hàng hai trừ đi các phần tử ở hàng ba rồi mang $2$ (nhân thức chung của các phần tử ở hàng đầu) ra ngoài dấu định thức: $D=-80\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&1&0\\ 5&-1&0\\ 0&3&1 \end{vmatrix}\end{align*}$.
Khai triển định thức theo các phần tử ở cột ba: $D=-80\begin{align*}\begin{vmatrix} 3&1\\ 5&-1 \end{vmatrix}\end{align*}=640$.
385. Tìm $y$ từ hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{I} x+2y+3z=14\\ y+2z+3t=20\\ z+2t+3x=14\\ t+2x+3y=12\end{array}\right.$
Giải. Ta viết hệ này dưới dạng: $\left\{\begin{array}{I} x+2y+3z+0.t=14\\ 0.x+y+2z+3t=20\\ 3x+0.y+z+2t=14\\ 2x+3y+0.z+1.t=12\end{array}\right.$
Ta có: $D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&3&0\\ 0&1&2&3\\ 3&0&1&2\\ 2&3&0&1 \end{vmatrix}\end{align*}$.
Lấy các phần tử của cột hai trừ đi hai lần các phần tử của cột một; lấy các phần tử của cột ba trừ đi ba lần các phần tử của cột một:
$D=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&2&3\\ 3&-6&-8&2\\ 2&-1&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&3\\ -6&-8&2\\-1&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}=(-2).(-1)$.$\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 3&4&-1\\ 1&6&-1\end{vmatrix}\end{align*}$
Lấy các phần tử của cột hai trừ đi hai lần các phần tử của cột một ; các phần tử của cột ba trừ đi ba lần các phần tử của cột một:
$D=2\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&0&0\\3&-2&-10\\1&4&-4\end{vmatrix}\end{align*}$=$2\begin{align*}\begin{vmatrix} -2&-10\\ 4^-4\end{vmatrix}\end{align*}=2.(8+40)=96$.
Ta tìm: $D_y=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&14&3&0\\ 0&20&2&3\\ 3&14&1&2\\ 2&-12&0&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$2\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&7&3&0\\ 0&10&2&3\\ 3&7&1&2\\ 2&6&0&1\end{vmatrix}\end{align*}$
Lấy các phần tử của hàng ba trừ đi ba lần các phần tử của hàng một; các phần tử của hàng bốn trừ đi hai lần các phần tử của hàng một:
$D_y=2\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&7&3&0\\ 0&10&2&3\\ 0&-14&-8&2\\ 0&-8&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$2\begin{align*}\begin{vmatrix} 10&2&3\\ -14&-8&2\\ -8&-6&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$2.2.2.\begin{align*}\begin{vmatrix} 5&1&3\\ -7&-4&2\\ -4&-2&1\end{vmatrix}\end{align*}$
Lấy các phần tử của hàng đầu trừ đi ba lần các phần tử của hàng ba; các phần tử của hàng hai trừ đi hai lần các phần tử của hàng ba:
$D_y=8\begin{align*}\begin{vmatrix} 17&10&0\\ 1&2&0\\ -4&-3&1\end{vmatrix}\end{align*}$=$8\begin{align*}\begin{vmatrix} 17&10\\ 1&2\end{vmatrix}\end{align*}=192$.
Từ đó $y=\frac{D_y}{D}=\frac{192}{96}=2$.
336. Tính định thức:
$V=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3\end{vmatrix}\end{align*}$.
Giải. Lấy hàng hai trừ đi hàng một nhân với $a$, hàng ba trừ đi hàng hai nhân với $a$, hàng bốn trừ đi hàng ba hân với $a$:
$V=\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 0&b-a&c-a&d-a\\ 0&b^2-ab&c^2-ac&d^2-ad\\ 0&b^3-ab^2&c^3-ac^2&d^3-ad^2\end{vmatrix}\end{align*}$=$(b-a)(c-a)(d-a)\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1\\ b&c&d\\ b^2&c^2&d^2\end{vmatrix}\end{align*}$
Lấy hàng hai trừ đi hàng một nhân với $b$, hàng ba trừ đi hàng hai nhân với $b$:
$V=(b-a)(c-a)(d-a)\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 0&c-b&d-b\\ 0&c^2-bc&d^2-db\end{vmatrix}\end{align*}$=$(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&1\\ c&d\end{vmatrix}\end{align*}$.
Vậy $V=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$.
Dễ dàng thấy rằng định thức đang xét bằng không khi và chỉ khi trong các số $a,b,c,d$ có những số bằng nhau.
Tính các định thức:
387. $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1&-2&3&4\\ 2&1&-4&3\\ 3&-4&-1&-2\\ 4&3&2&-1\end{vmatrix}\end{align*}$
388. $\begin{align*}\begin{vmatrix} -1&-1&-1&-1\\ -1&-2&-4&-8\\ -1&-3&-9&-27\\ -1&-4&-16&-64\end{vmatrix}\end{align*}$
389. $\begin{align*}\begin{vmatrix} 10&2&0&0&0\\ 12&10&2&0&0\\ 0&12&10&2&0\\ 0&0&12&10&2\\ 0&0&0&12&10 \end{vmatrix}\end{align*}$
390. $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1+a&1&1&1\\ 1&1-a&1&1\\ 1&1&1+b&1\\ 1&1&1&1-b\end{vmatrix}\end{align*}$
Giải các hệ phương trình:
391. $\left\{\begin{array}{I} y-3z+4t=-5\\ x-2z+3t=-4\\ 3x+2y-5t=12\\ 4x+3y-5z=5\end{array}\right.$
392. $\left\{\begin{array}{I} x-3y+5z-7t=12\\ 3x-5y+7z-t=0\\ 5x-7y+z-3t=4\\ 7x-y+3z-5t=16\end{array}\right.$
393. $\left\{\begin{array}{I} x+2y=5\\ 3y+4z=18\\ 5z+6u=39\\ 7u+8v=68\\ 9v+10x=55\end{array}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 27-06-2021 - 19:35