Chủ đề này có 2 trả lời

[vucuong2005]

Tìm các số nguyên dương a,b,c thoả mãn $a^{2}+b+3=(b^{2}-c^{2})^{2}$ 

[tritanngo99]

Tìm các số nguyên dương a,b,c thoả mãn $a^{2}+b+3=(b^{2}-c^{2})^{2}$ 

Lời giải: Ta có: $a^2+b+3=(b^2-c^2)^2\iff b+3=(b^2-c^2)^2-a^2=(b^2-c^2-a)(b^2-c^2+a)(*)$

Ta xét ba trường hợp:

TH1: $b=c$.

Khi đó: $b+3=-a^2\implies 0<VT=VP<0$. Vô lý.

TH2: $b<c\implies b^2-c^2<0\implies b^2-c^2-a<0\implies b^2-c^2+a<0$.

Mặt khác từ $(*)$ ta suy ra được $|b^2-c^2-a|$ và $|b^2-c^2+a|$ là các ước của $b+3$.

Do đó ta có: $b+3\ge |b^2-c^2-a|\ge c^2+a-b^2\ge (b+1)^2+1-b^2=2b+2$ (do $b<c$)

$\implies 1\ge b\implies b=1$.

+ Nếu $b=1\implies 4=(1-c^2-a)(1-c^2+a)=(-4).(-1)$ (Do $b^2-c^2-a<0\text{ và } b^2-c^2+a<0$ và $b^2-c^2-a<b^2-c^2+a$)

$\implies $loại do không có nghiệm nguyên nào thỏa mãn.

TH3: $b>c\implies b^2-c^2>0\implies b^2-c^2+a>0\implies b^2-c^2-a>0$.

Do $b^2-c^2+a$ là ước của $b+3$.

$\implies b+3\ge b^2-c^2+a\ge b^2-(b-1)^2+a=2b-1+a$ (do $b>c\implies c\le b-1$).

$\implies a+b\le 4\implies 2\le a+b\le 4$.

Nếu $a+b=2\implies a=b=1\implies $ loại vì không có giá trị nguyên nào của $c$ thỏa mãn.

Nếu $a+b=3\implies (a;b)=(2;1),(1;2)\implies $ loại vì không có giá trị nguyên nào của $c$ thỏa mãn.

Nếu $a+b=4\implies (a;b)=(3;1),(1;3),(2;2)\implies $ chỉ có $(a;b)=(2;2)$ mới cho $1$ giá trị nguyên $c=1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(a;b;c)=(2;2;1)$

[toanhoc2017]

Lời giải: Ta có: $a^2+b+3=(b^2-c^2)^2\iff b+3=(b^2-c^2)^2-a^2=(b^2-c^2-a)(b^2-c^2+a)(*)$

Ta xét ba trường hợp:

TH1: $b=c$.

Khi đó: $b+3=-a^2\implies 0<VT=VP<0$. Vô lý.

TH2: $b<c\implies b^2-c^2<0\implies b^2-c^2-a<0\implies b^2-c^2+a<0$.

Mặt khác từ $(*)$ ta suy ra được $|b^2-c^2-a|$ và $|b^2-c^2+a|$ là các ước của $b+3$.

Do đó ta có: $b+3\ge |b^2-c^2-a|\ge c^2+a-b^2\ge (b+1)^2+1-b^2=2b+2$ (do $b<c$)

$\implies 1\ge b\implies b=1$.

+ Nếu $b=1\implies 4=(1-c^2-a)(1-c^2+a)=(-4).(-1)$ (Do $b^2-c^2-a<0\text{ và } b^2-c^2+a<0$ và $b^2-c^2-a<b^2-c^2+a$)

$\implies $loại do không có nghiệm nguyên nào thỏa mãn.

TH3: $b>c\implies b^2-c^2>0\implies b^2-c^2+a>0\implies b^2-c^2-a>0$.

Do $b^2-c^2+a$ là ước của $b+3$.

$\implies b+3\ge b^2-c^2+a\ge b^2-(b-1)^2+a=2b-1+a$ (do $b>c\implies c\le b-1$).

$\implies a+b\le 4\implies 2\le a+b\le 4$.

Nếu $a+b=2\implies a=b=1\implies $ loại vì không có giá trị nguyên nào của $c$ thỏa mãn.

Nếu $a+b=3\implies (a;b)=(2;1),(1;2)\implies $ loại vì không có giá trị nguyên nào của $c$ thỏa mãn.

Nếu $a+b=4\implies (a;b)=(3;1),(1;3),(2;2)\implies $ chỉ có $(a;b)=(2;2)$ mới cho $1$ giá trị nguyên $c=1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(a;b;c)=(2;2;1)$

HAY QUÁ