Chủ đề này có 1 trả lời

[kiencoam]

Tìm tất cả các số nguyên dương n để A = 2⁹+2¹³+2ⁿ là số chính phương.

[tritanngo99]

Tìm tất cả các số nguyên dương n để A = 2⁹+2¹³+2ⁿ là số chính phương.

Lời giải: Ta xét ba trường hợp:

TH1: $n=9$. Khi đó $A=2^9+2^{13}+2^{9}=2^{9}(1+2^{4}+1)=18.2^{9}=9.2^{10}=(3.2^{5})^{2}$. Suy ra $A$  là số chính phương.

TH2: $n>9$. Ta sẽ đi chứng minh $A\vdots 2^{9}$ và $A\not \vdots 2^{10}$.

Thật vậy, giả sử: $n=9k+r,k\in \mathbb{N^*},0\le r<9$.

Khi đó: $A=2^{9}+2^{13}+2^{9k+r}=2^{9}[1+2^{4}+2^{9(k-1)+r}]=2^{9}[17+2^{9(k-1)+r}](*)$.

Vì $n>9$ nên ta suy ra được: $2^{9(k-1)+r}\vdots 2$, do đó từ $(*)$ ta suy ra được: $A\vdots 2^{9}$ và $A\not \vdots 2^{10}\implies A=2^{9}.B$ (với $B$ là số lẻ).

Từ đây ta suy ra được $A$ không thể là số chính phương.

TH3: $n<9$. Ta sẽ đi chứng minh rằng, để $A$ là số chính phương thì điều kiện cần là $n\vdots 2$.

Thật vậy, giả sử ngược lại: $n\not\vdots 2\implies n=2k+1(k\in \mathbb{N})$.

$\implies A=2^{9}+2^{13}+2^{2k+1}=2^{2k+1}(2^{8-2k}+2^{12-2k}+1)=2^{2k+1}.C$ (với $C$ là số lẻ).

$\implies $A không thể là số chính phương.

$\implies n\in \left\{2,4,6,8\right\}$.

+ Nếu $n=2\implies A=2^9+2^{13}+2^{2}=2^{2}(2^{7}+2^{11}+1)=2^{2}.(128+2048+1)=4.2177$ không là số chính phương.

+ Nếu $n=4\implies A=2^9+2^{13}+2^{4}=2^{4}(2^{5}+2^{9}+1)=2^{2}.(32+512+1)=2^{4}.545$ không là số chính phương.

+ Nếu $n=6\implies A=2^9+2^{13}+2^{6}=2^{6}(2^{3}+2^{7}+1)=2^{2}.(8+128+1)=4.137$ không là số chính phương.

+ Nếu $n=8\implies A=2^9+2^{13}+2^{8}=2^{8}(2^{1}+2^{5}+1)=2^{2}.(2+32+1)=4.35$ không là số chính phương.

 Vậy tóm lại, từ $3$ trường hợp trên, ta suy được $n=9$ là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 02-03-2019 - 05:42