Chủ đề này có 4 trả lời

[Isidia]

Trong cuốn "The spirit of mathematical analysis" của Martin Ohm có đề cập tới chuỗi vô hạn này:

 

$\dfrac{x}{2}=\sin(x)-\dfrac{1}{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{3}\sin(3x)...$

 

Tác giả nói rằng nếu ta lấy đạo hàm từng phần tử ở hai vế (differentiating term by term) thì ta được chuỗi:

 

$\dfrac{1}{2}=\cos(x)-\cos(2x)+\cos(3x)...$

Kết quả trên là hàm hồ do chuỗi lượng giác bên tay phải phân kỳ (Có ai biết cách chứng minh nó phân kỳ không? Mình chỉ biết khi x=0 thì chuỗi này biến thành chuỗi Grandi, do đó nó phân kỳ).

 

Có ai có thể giải đáp giúp mình làm sao ta tìm được chuỗi đầu tiên không?

 

Được biết chuỗi này đã được Euler chứng minh trong bài "Subsidium calculi sinuum" (Đóng góp vào việc tính sin). Tuy nhiên bài viết bằng tiếng Latin chưa được dịch nên mình không đọc được:

 

http://eulerarchive....pages/E246.html

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Isidia: 02-03-2019 - 05:06

[vutuanhien]

Trong cuốn "The spirit of mathematical analysis" của Martin Ohm có đề cập tới chuỗi vô hạn này:

 

$\dfrac{x}{2}=\sin(x)-\dfrac{1}{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{3}\sin(3x)...$

 

Tác giả nói rằng nếu ta lấy đạo hàm từng phần tử ở hai vế (differentiating term by term) thì ta được chuỗi:

 

$\dfrac{1}{2}=\cos(x)-\cos(2x)+\cos(3x)...$

Kết quả trên là hàm hồ do chuỗi lượng giác bên tay phải phân kỳ (Có ai biết cách chứng minh nó phân kỳ không? Mình chỉ biết khi x=0 thì chuỗi này biến thành chuỗi Grandi, do đó nó phân kỳ).

 

Có ai có thể giải đáp giúp mình làm sao ta tìm được chuỗi đầu tiên không?

 

Được biết chuỗi này đã được Euler chứng minh trong bài "Subsidium calculi sinuum" (Đóng góp vào việc tính sin). Tuy nhiên bài viết bằng tiếng Latin chưa được dịch nên mình không đọc được:

 

http://eulerarchive....pages/E246.html

Điều kiện cần để một chuỗi số $\sum x_{n}$ hội tụ là $\lim_{n\to \infty}x_{n}=0$. Nhưng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì dãy $(\cos{nx})$ không thể hội tụ (ví dụ nếu $x/\pi$ là hữu tỷ thì có một dãy con là $\pm 1$ , còn nếu $x/\pi$ là vô tỷ thì tập này trù mật trong $[-1,1]$).

 

Còn chuỗi đầu tiên chỉ đơn giản là khai triển Fourier của hàm $f(x)=\dfrac{x}{2}$ trên đoạn $[-\pi, \pi]$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 02-03-2019 - 07:15

[Isidia]

Điều kiện cần để một chuỗi số $\sum x_{n}$ hội tụ là $\lim_{n\to \infty}x_{n}=0$. Nhưng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì dãy $(\cos{nx})$ không thể hội tụ (ví dụ nếu $x/\pi$ là hữu tỷ thì có một dãy con là $\pm 1$ , còn nếu $x/\pi$ là vô tỷ thì tập này trù mật trong $[-1,1]$).

 

Còn chuỗi đầu tiên chỉ đơn giản là khai triển Fourier của hàm $f(x)=\dfrac{x}{2}$ trên đoạn $[-\pi, \pi]$.

Bạn có thể khai triển chuỗi Fourier của  $f(x)=\dfrac{x}{2}$ được không? Mình cũng muốn xem quá.

 

Mình chưa được học về chuỗi Fourier nên không biết khai triển như thế nào.

 

Tập trù mật nghĩa là như thế nào vậy bạn, và nó ảnh hưởng gì đến sự hội tụ của chuỗi $\cos(nx)$?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Isidia: 02-03-2019 - 07:47

[vutuanhien]

Bạn có thể khai triển chuỗi Fourier của  $f(x)=\dfrac{x}{2}$ được không? Mình cũng muốn xem quá.

 

Mình chưa được học về chuỗi Fourier nên không biết khai triển như thế nào.

Với $n\neq 0$ thì $$\hat{f}(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}dx=\dfrac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xe^{-inx}dx=\dfrac{1}{4\pi}\left [ \frac{xe^{-inx}}{-in}\Big|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{e^{-inx}}{-in} \right ]=\dfrac{-1}{4\pi in}[\pi e^{in\pi}+\pi e^{-in\pi}]=\dfrac{(-1)^{n+1}}{2in},$$ còn với $n=0$ thì $\hat{f}(0)=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=0$.

 

Do đó khai triển Fourier của $f(x)$ là

$$f(x)\sim \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)\cos{nx}\right)+i\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)\sin{nx}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}\sin{nx}}{n}$$

 

Trù mật có nghĩa là với mọi $x_{0}\in [-1, 1]$ thì tồn tại một dãy con $n_{k}$ sao cho $\cos{n_{k}x}$ hội tụ đến $x_{0}$. Như vậy thì dãy $\cos{nx}$ không thể hội tụ về $0$, vì nếu như vậy thì mọi dãy con của nó cũng phải hội tụ về $0$. Dĩ nhiên đây là một khẳng định tổng quát mà em muốn nói thêm, còn thực tế để chứng minh dãy không hội tụ về $0$ thì chỉ cần chỉ ra có một dãy con hội tụ về $1$ chẳng hạn là được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 02-03-2019 - 07:59

[Isidia]

Với $n\neq 0$ thì $$\hat{f}(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}dx=\dfrac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xe^{-inx}dx=\dfrac{1}{4\pi}\left [ \frac{xe^{-inx}}{-in}\Big|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{e^{-inx}}{-in} \right ]=\dfrac{-1}{4\pi in}[\pi e^{in\pi}+\pi e^{-in\pi}]=\dfrac{(-1)^{n+1}}{2in},$$ còn với $n=0$ thì $\hat{f}(0)=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=0$.

 

Do đó khai triển Fourier của $f(x)$ là

$$f(x)\sim \sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)\cos{nx}\right)+i\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)\sin{nx}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}\sin{nx}}{n}$$

 

Trù mật có nghĩa là với mọi $x_{0}\in [-1, 1]$ thì tồn tại một dãy con $n_{k}$ sao cho $\cos{n_{k}x}$ hội tụ đến $x_{0}$. Như vậy thì dãy $\cos{nx}$ không thể hội tụ về $0$, vì nếu như vậy thì mọi dãy con của nó cũng phải hội tụ về $0$. Dĩ nhiên đây là một khẳng định tổng quát mà em muốn nói thêm, còn thực tế để chứng minh dãy không hội tụ về $0$ thì chỉ cần chỉ ra có một dãy con hội tụ về $1$ chẳng hạn là được.

Cám ơn bạn, mình đã hiểu rồi. Case closed!