Chủ đề này có 1 trả lời

[toanND]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn các điều kiện:

i) $f(f(x)-y)=f(x^{2})+f(y)-2yf(x), \forall x,y\in \mathbb{Z}$

ii) $f(1)>0$

[pcoVietnam02]

Gợi ý: 

Gọi $P(x,y)$ là các phép thế của phương trình hàm trên

$P(1;1) \Rightarrow f(f(1)-1)=0$

$P(1; f(1)-1) \Rightarrow f(1)(f(1)-1)=0$ 

Chỗ này vì sao lại đặt $y=f(1)-1$ là vì mình muốn triệt tiêu cái $f(f(x)-y)$ và $f(x^2)$ đi vì nó khá là vướng thì để làm vậy ta cần

$f(x)-y=x^2 \Rightarrow y=f(x)-x^2$ , cho $x=1$ thì được phép thế trên. Mình đặt bằng 1 vì mình cần đưa về hệ thức $f(1)$ để làm việc cho dễ vì có đk $f(1)>0$ và quả thực ta có biểu thức như trên và ta suy ra $f(1)=1$ .

$P(1;0) \Rightarrow f(0)=0$

$P(0,x) \Rightarrow f(-x)=f(x)$ là một hàm chẵn

$P(1,x) \Rightarrow f(x-1)=1-2y+f(x)$ (1)

Từ (1) và $f(0)=0$ , $f(1)=1$ ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp $f(n)=n^2$, $\forall n \in \mathbb{N}$

Hint: $f(k+1) = f(k)+2(k+1)-1 = k^2+2k+1 = (k+1)^2$

Hơn nữa ta lạ có $f$ là một hàm chẵn nên $f(x)=x^2$ , $\forall x \in \mathbb{Z}$

Thử lại thấy đúng