Chủ đề này có 1 trả lời

[duongvu]

Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = -3 và ab + bc + ca = 2. Tìm Max và Min của tích abc.

[tritanngo99]

Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = -3 và ab + bc + ca = 2. Tìm Max và Min của tích abc.

Lời giải:

Ta có: $\left\{\begin{array}{I} a+b+c=-3\\ ab+bc+ca=2\end{array}\right.$

$\implies \left\{\begin{array}{I} a+b=-3-c(1)\\ ab=2-(bc+ca)=2-c(a+b)(2)\end{array}\right.$

Thay $(1)$ vào $(2)$ ta được: $ab=2-c(-3-c)=2+3c+c^2\implies abc=c(2+3c+c^2)=c(c+1)(c+2)$.

Mặt khác ta lại có bất đẳng thức quen thuộc sau: $(a+b)^2\ge 4ab\iff (a-b)^2\ge 0$.

$\iff (-3-c)^2\ge 4(c^2+3c+2)\iff c^2+6c+9\ge 4c^2+12c+8\iff 3c^2+6c-1\le 0\iff \frac{1}{3}(-3-2\sqrt{3})\le c\le \frac{1}{3}(2\sqrt{3}-3)\iff -1-\frac{2}{\sqrt{3}}\le c\le \frac{2}{\sqrt{3}}-1\implies \frac{-2}{\sqrt{3}}\le c+1\le \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Đến đây, ta đặt $A=c(c+1)(c+2)$ và $t=c+1\implies |t|\le \frac{2}{\sqrt{3}}$ và $A=(t-1)t(t+1)=t(t^2-1)$.

Khi đó $A^2=t^2(t^2-1)^2\le (\frac{2}{\sqrt{3}})^2[(\frac{2}{\sqrt{3}})^2-1]^2=\frac{4}{27}$.

$\implies \frac{-2}{3\sqrt{3}}\le A\le \frac{2}{3\sqrt{3}}$.

Vậy $A_{min}=\frac{-2}{3\sqrt{3}}$. Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b;c)=(-1+\frac{1}{\sqrt{3}};-1+\frac{1}{\sqrt{3}};-1-\frac{2}{\sqrt{3}})$ và các hoán vị.

và $A_{max}=\frac{2}{3\sqrt{3}}$. Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b;c)=(-1-\frac{1}{\sqrt{3}};-1-\frac{1}{\sqrt{3}};-1+\frac{2}{\sqrt{3}})$ và các hoán vị.