Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x+yf(x))+f(xy)=f(x)+f(2019y)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán Tin trường ĐH KHTN TP Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Algebraic Topology and Algebraic Geometry

Đã gửi 04-03-2019 - 00:19

Nguồn: RMM 2019 P5. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f\left ( x+yf\left ( x \right ) \right )+f\left ( xy \right )=f\left ( x \right )+f\left ( 2019y \right ),\forall x, y\in \mathbb{R}.$



#2 Sugar

Sugar

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

Đã gửi 28-06-2019 - 14:24

Nguồn: RMM 2019 P5. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f\left ( x+yf\left ( x \right ) \right )+f\left ( xy \right )=f\left ( x \right )+f\left ( 2019y \right ),\forall x, y\in \mathbb{R}.$

Ta thấy mọi hàm hằng $f$ đều thỏa mãn.

 

Gọi $f$ là hàm khác hằng thỏa mãn điều kiện, $P(x,y)$ đại diện cho $f(x+yf(x))+f(xy)=f(x)+f(2019)$.

 

Bổ đề. Nếu tồn tại $c\in\mathbb{R}$ nào đó sao cho $f(ct)=f(t)$ với mọi $t\in\mathbb{R}$, thì $c=1$ hoặc $f$ thỏa mãn $f(x)=0\Leftrightarrow x\neq0$.

Chứng minh. So sánh $P(cx,y)$ và $P(x,y)$ cho ta $f(cx+yf(x))=f(x+yf(x))$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$. Vì $f$ khác hàm hằng, tập hợp $S=\{u\in\mathbb{R}:f(u)\neq0\}$ khác rỗng.

Nếu tồn tại $u\in S$ với $u\neq0$, chú ý rằng $f(cu+yf(u))=f(u+yf(u))$ với mọi $y\in\mathbb{R}$ và $u+yf(u)$ chạy trên $\mathbb{R}$ khi $y$ thay đổi trên $\mathbb{R}$, nên $f((c-1)u+z)=f(z)$ với mọi $z\in\mathbb{R}$.

Bây giờ, đặt $T=(c-1)u$, và giả sử rằng $T\neq0$. Khi đó, so sánh $P(x+T,y)$ và $P(x,y)$ cho ta $f(xy)=f(xy+yT)$, nghĩa là $f$ là hàm hằng nếu $T\neq0$, vô lí. Vì vậy, $T=0$ hay $c=1$ hoặc $S=\{0\}$ như đã nói.

 

Trở lại bải toán. Giả sử rằng $f$ không thỏa mãn $f(x)=0\Leftrightarrow x\neq0$.

$P(2019,y)$ cho ta $f(2019+yf(2019))=f(2019)$ với mọi $y\in\mathbb{R}$. Nếu $f(2019)\neq0$, $2019+yf(2019)$ chạy trên $\mathbb{R}$ khi $y$ thay đổi trên $\mathbb{R}$ thì $f=f(2019)$, trái giả thiết nên $f(2019)=0$.

$P(x,1)$ dẫn đến $f(x+f(x))=f(2019)=0$.

$P(x+f(x),y)$ thì $f((x+f(x))y)=f(2019y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$.

Theo bổ đề trên, $x+f(x)=2019$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ hay $f(x)=2019-x$ với mọi $x\in\mathbb{R}$; hoặc $f(x)=0\Leftrightarrow x\neq0$.

Thử lại ta có tất cả hàm trên đều thỏa.

 

p/s: bài này mình dịch từ AOPS, khá hay.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh