Israel National Math Olympiad 2017
Cho hàm số $f:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ thỏa mãn:
1. Với bất kì $x_1,\ x_2,\ y_1,\ y_2\ \in \mathbb Q$, ta đều có
$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right) \leq \frac{f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)}{2}.$$
2. $f(0,0) \leq 0$.
3. Với bất kì $x,y \in \mathbb Q$ thỏa mãn $x^2+y^2>100$, bất đẳng thức $f(x,y)>1$ đúng.
Chứng minh rằng có số hữu tỉ dương $b$ sao cho với mọi số hữu tỷ $x,y$ thì
$$f(x,y) \ge b\sqrt{x^2+y^2} - \frac{1}{b}.$$
