Cho hàm số $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn $2a+3b+6c=0$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$.
a) Tính $f(0),f(1),f(\frac{1}{2})$ theo $a,b,c$. Chứng minh $3$ số $f(0),f(1),f(\frac{1}{2})$ không thể cùng dấu.
b) Chứng minh phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm $x_0\in (0;1)$
Đề bài thiếu điều kiện $a\neq 0$ (chứ nếu $a=b=c=0$ thì $f(0)=f\left ( \frac{1}{2} \right )=f(1)=0$)
a) $f(0)=c$ hay $f(0)=\frac{-2a-3b}{6}$ (1)
$f\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{1}{4}\ a+\frac{1}{2}\ b+c$ hay $f\left ( \frac{1}{2} \right )=-\frac{1}{12}\ a$ (2)
$f(1)=a+b+c$ hay $f(1)=\frac{4a+3b}{6}$ (3)
(1),(3) $\Rightarrow f(0)+f(1)=\frac{1}{3}\ a$ (4)
Ta phải chứng minh trong 3 số $f(0),f(1),f\left ( \frac{1}{2} \right )$ có 2 số trái dấu. Xét 2 trường hợp :
+ Nếu $f(0)$ và $f(1)$ trái dấu, ta có điều phải chứng minh.
+ Nếu $f(0)$ và $f(1)$ không trái dấu thì từ (4) suy ra trong chúng có ít nhất 1 số cùng dấu với $a$. Rõ ràng số này trái dấu với $f\left ( \frac{1}{2} \right )=-\frac{1}{12}\ a$ (đpcm)
b) Từ kết quả câu a, trong 3 số $f(0),f\left ( \frac{1}{2} \right ),f(1)$ có 2 số trái dấu, giả sử đó là $f(a),f(b)$ ($0\leqslant a< b\leqslant 1$)
$f(a).f(b)< 0\Rightarrow$ phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm $x_0\in (a;b)\Rightarrow x_0\in (0;1)$