Đến nội dung

Hình ảnh

$7x^4+7y^4+4x^2y^2$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
picachu113

picachu113

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
Cho $x, y$ thỏa mãn $2(x^2+y^2)=1+xy$. Tìm GTLN, GTNN của $P=7(x^4+y^4)+4x^2y^2$.

#2
Hr MiSu

Hr MiSu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Bài này chỉ cần tìm miền giá trị của $xy$ là được. Do biến đổi thì $P=7(x^2+y^2)^2-10x^2y^2=7(\frac{1+xy}{2})^2-10x^2y^2$ là một hàm bậc $2$ ẩn $xy$

Đặt $xy=k$. Ta cần tìm miền giá trị của $k$. 

Để ý $k$ phải là số thỏa mãn hệ phương trình sau có nghiệm $\left\{\begin{matrix} 2(x^2+y^2)=1+k\\ xy=k \end{matrix}\right.$

Trường hợp 1: $k=0$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: $k\neq 0$ nên $x,y\neq 0$. Ta có $y=\frac{k}{x}$.

Thay vào phương trình đầu: $2x^4-(1+k)x^2+2k^2=0$ đặt $x^2=t$. Ta cần tìm $k$ để phương trình $2t^2-(1+k)t+2k^2=0$ (*) ncó nghiệm dương.

Đầu tiên: $\Delta \geq 0$ suy ra $\frac{-1}{5}\leq k \leq \frac{1}{3}$. Gọi $t_1,t_2$ là 2 nghiệm của phương trình (*) khi đó theo định lí Vi-et thì 

$t_1+t_2=\frac{1+k}{2}>0,t_1.t_2=k^2>0$ nên $t_1,t_2$ đều dương. Do đó mọi $\frac{-1}{5}\leq k \leq \frac{1}{3}$, phương trình (*) luôn có nghiệm dương.

Vậy $\frac{-1}{5}\leq xy \leq \frac{1}{3}$


s2_PADY_s2

Hope is a good thing, maybe the best thing, and no good thing ever dies





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh