Cho tam giác $ABC$ với $M$ là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Đường thẳng vuông góc với $MA,MB,MC$ tại $M$ cắt $BC,CA,AB$ tại các điểm $A_0,B_0,C_0.$ Chứng minh $A_0,B_0,C_0$ thẳng hàng. (sử dụng phép nghịch đảo)
Xét phép nghịch đảo tâm $M$; phương tích $k$ bất kì.
Gọi ảnh của 1 điểm (giả sử là) $K$ qua $N^{k}_{M}$ là $K'$
Ta có: $A_0; B; C$ thẳng hàng $\Rightarrow A'_0; B'; C'; M$ cùng thuộc đường tròn $(O_1)$
Tương tự ta có $(O_2); (O_3)$.
Gọi $D$ là trực tâm $\Delta O_1O_2O_3$; ta có: $O_1D\bot O_2O_3; A'_0M// O_2O_3\Rightarrow O_1D\bot A'_0M\Rightarrow DM=DA'_0$
Tương tự $\Rightarrow M; A'_0; B'_0; C'_0$ cùng thuộc đường tròn $(D)$.
$\Rightarrow \overline{A_0; B_0; C_0}$ (dpcm)