Chủ đề này có 5 trả lời

[toannguyenebolala]

Có bao nhiêu cách phân tích số $15^{9}$ thành tích của ba số nguyên dương (không nhất thiết phải khác nhau)?

[tritanngo99]

Có bao nhiêu cách phân tích số $15^{9}$ thành tích của ba số nguyên dương (không nhất thiết phải khác nhau)?

Lời giải: Ta có nhận xét rằng các ước của $15^9$ đều có dạng: $3^{p}.5^{q}(p,q\in \mathbb{N})$.

Không mất tính tổng quát, giả sử: $15^9=A.B.C(A,B,C\in \mathbb{N}^{*})$.

Và giả sử rằng $(A;B;C)=(3^{a}.5^{x};3^{b}.5^{y};3^{c}.5^{z})(a,b,c,x,y,z\in \mathbb{N})$.

Khi đó: $15^9=3^{a+b+c}.5^{x+y+z}(1)$.

Mặt khác: $15^9=3^9.5^9(2)$.

Nên từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Tiếp theo ta đi xét bài toán: Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Và theo kết quả bài toán chia kẹo Euler ta có: Số bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn là: $C_{9+3-1}^{3-1}=C_{11}^{2}$ và số bộ $(x;y;z)$ thỏa mãn cũng là: $C_{11}^{2}$.

Vậy kết quả cần tìm là: $(C_{11}^{2})^2$

[dottoantap]

Lời giải: Ta có nhận xét rằng các ước của $15^9$ đều có dạng: $3^{p}.5^{q}(p,q\in \mathbb{N})$.

Không mất tính tổng quát, giả sử: $15^9=A.B.C(A,B,C\in \mathbb{N}^{*})$.

Và giả sử rằng $(A;B;C)=(3^{a}.5^{x};3^{b}.5^{y};3^{c}.5^{z})(a,b,c,x,y,z\in \mathbb{N})$.

Khi đó: $15^9=3^{a+b+c}.5^{x+y+z}(1)$.

Mặt khác: $15^9=3^9.5^9(2)$.

Nên từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Tiếp theo ta đi xét bài toán: Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Và theo kết quả bài toán chia kẹo Euler ta có: Số bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn là: $C_{9+3-1}^{3-1}=C_{11}^{2}$ và số bộ $(x;y;z)$ thỏa mãn cũng là: $C_{11}^{2}$.

Vậy kết quả cần tìm là: $(C_{11}^{2})^2$

Do tính chất giao hoán trong phép nhân, mình nghĩ là 3 số nguyên dương này có vai trò như nhau, đơn cử một trường hợp:

Với $a=x=1$ ta sẽ có bộ  $(3^{1}.5^{1};3^{8}.5^{8};3^{0}.5^{0})$

Với $c=z=1$ ta sẽ có bộ  $(3^{0}.5^{0};3^{8}.5^{8};3^{1}.5^{1})$

Mà hai bộ này chỉ là một $\rightarrow$ do tính trùng lấp nên kết quả nhỏ hơn nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 20-03-2019 - 09:48

[tritanngo99]

Do tính chất giao hoán trong phép nhân, mình nghĩ là 3 số nguyên dương này có vai trò như nhau, đơn cử một trường hợp:
Với $a=x=1$ ta sẽ có bộ $(3^{1}.5^{1};3^{8}.5^{8};3^{0}.5^{0})$
Với $c=z=1$ ta sẽ có bộ $(3^{0}.5^{0};3^{8}.5^{8};3^{1}.5^{1})$
Mà hai bộ này chỉ là một $\rightarrow$ do tính trùng lấp nên kết quả nhỏ hơn nhiều.

Cảm ơn bạn, mình có thể giải quyết lại như sau: KMTTQ, giả sử $0\le a\le b\le c\le 9\implies 3a\le a+b+c=9\implies 0\le a\le 3$.
TH1: Với $a=0\implies b+c=9$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(0;9),(1;8),...(4;5)$. Ta có $5$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn.
TH2: Với $a=1\implies b+c=8$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(1;7),(2;6),...(4;4)$. Ta có $4$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn.(Loại cặp $(0,8)$ trùng trường hợp $1$).
TH3: Với $a=2\implies b+c=7$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(2;5),(3;4)$. Ta có $2$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn..
TH4: Với $a=3\implies b+c=6$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(3;3)$. Ta có $1$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn..
Vậy tóm lại ta có: 5+4+2+1=12 cặp $(a;b;c)$ thỏa mãn.
Tương tự ta có: $12$ cặp $(x;y;z)$ thỏa mãn.
Vậy nên đáp án là: $12^2=144$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 20-03-2019 - 17:11

[dottoantap]

Cảm ơn bạn, mình có thể giải quyết lại như sau: KMTTQ, giả sử $0\le a\le b\le c\le 9\implies 3a\le a+b+c=9\implies 0\le a\le 3$.
TH1: Với $a=0\implies b+c=9$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(0;9),(1;8),...(4;5)$. Ta có $5$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn.
TH2: Với $a=1\implies b+c=8$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(1;7),(2;6),...(4;4)$. Ta có $4$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn.(Loại cặp $(0,8)$ trùng trường hợp $1$).
TH3: Với $a=2\implies b+c=7$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(2;5),(3;4)$. Ta có $2$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn..
TH4: Với $a=3\implies b+c=6$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(3;3)$. Ta có $1$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn..
Vậy tóm lại ta có: 5+4+2+1=12 cặp $(a;b;c)$ thỏa mãn.
Tương tự ta có: $12$ cặp $(x;y;z)$ thỏa mãn.
Vậy nên đáp án là: $12^2=144$.

Mình ngưỡng mộ tính kiên trì của bạn đấy!.

Trở lại bài toán, ta có thí dụ: 

Theo lời giải, chẳng hạn bạn chọn được $1$ bộ $(A;B;C)$ từ $\left (a;b;c \right )=(0;2;7)$ và  $\left ( x;y;z \right )=\left ( 1;3;5 \right )$  nhưng thực ra ta tìm được đến $3!$ bộ $(A;B;C)$. Mình liệt kê ra nhé:

$\left ( 3^{0} 5^{1};3^{2} 5^{3};3^{7} 5^{5}\right );\left ( 3^{0} 5^{1};3^{2} 5^{5};3^{7} 5^{3}\right );$

$\left ( 3^{0} 5^{3};3^{2} 5^{1};3^{7} 5^{5}\right );\left ( 3^{0} 5^{3};3^{2} 5^{5};3^{7} 5^{1}\right );$

$\left ( 3^{0} 5^{5};3^{2} 5^{1};3^{7} 5^{3}\right );\left ( 3^{0} 5^{5};3^{2} 5^{3};3^{7} 5^{1}\right ).$

Như vậy, kết quả theo lời giải này sẽ bé hơn  thực tế do mình đã đếm thiếu.

 

++++++++++++++++++++++++++++++

Theo mình, để giải bài này, nên chăng ta xét 3 trường hợp vì nhận thấy trong $\left ( C_{11}^{2} \right )^{2}$ bộ $(A;B;C)$ này gồm có các loại:

i/ $A=B=C$:  có 1 bộ

ii/ Hai số giống nhau (A=B chẳng hạn): bị hoán vị $C_{3}^{1}$ lần và

iii/ $A\neq B\neq C$: bị hoán vị $3!$ lần.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 21-03-2019 - 10:24

[dottoantap]

Lời giải: Ta có nhận xét rằng các ước của $15^9$ đều có dạng: $3^{p}.5^{q}(p,q\in \mathbb{N})$.

Không mất tính tổng quát, giả sử: $15^9=A.B.C(A,B,C\in \mathbb{N}^{*})$.

Và giả sử rằng $(A;B;C)=(3^{a}.5^{x};3^{b}.5^{y};3^{c}.5^{z})(a,b,c,x,y,z\in \mathbb{N})$.

Khi đó: $15^9=3^{a+b+c}.5^{x+y+z}(1)$.

Mặt khác: $15^9=3^9.5^9(2)$.

Nên từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Tiếp theo ta đi xét bài toán: Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.

Và theo kết quả bài toán chia kẹo Euler ta có: Số bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn là: $C_{9+3-1}^{3-1}=C_{11}^{2}$ và số bộ $(x;y;z)$ thỏa mãn cũng là: $C_{11}^{2}$.

Vậy kết quả cần tìm là: $(C_{11}^{2})^2$

Mình xin tiếp sức bạn nhé!

Nhận thấy $(C_{11}^{2})^2$ là số bộ $\left ( A,B,C \right )$ thỏa đề bài nhưng có thứ tự. Ta có các trường hợp:

i/ $A=B=C$: có $1$ bộ 

ii/ Ít nhất có 2 phần tử bằng nhau: Giả sử $A=B$ thì $a=b \rightarrow 2a=9-c\rightarrow a=b=\overline{0,4}\rightarrow$ có $5$ cách chọn $a$. Tương tự có $5$ cách chọn $x$. Trong $5\times 5=25$ bộ này có $1$ bộ mà $A=B=C$ cho nên số bộ $\left ( A,B,C \right )$ có đúng 2 phần tử bằng nhau là $25-1=24$ và hơn nữa do có thứ tự, số bộ loại này là $24.C_{3}^{1}$.

Vậy số bộ 3 số nguyên dương thỏa yêu cầu đề bài là:

$\frac{(C_{11}^{2})^2-24.C_{3}^{1}-1}{3!}+25=492+25=517\text{ bộ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 25-03-2019 - 15:35