Có bao nhiêu cách phân tích số $15^{9}$ thành tích của ba số nguyên dương (không nhất thiết phải khác nhau)?
Có bao nhiêu cách phân tích số $15^{9}$ thành tích của ba số nguyên dương (không nhất thiết phải khác nhau)?
#1
Đã gửi 19-03-2019 - 19:27
"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"
#2
Đã gửi 19-03-2019 - 19:46
Có bao nhiêu cách phân tích số $15^{9}$ thành tích của ba số nguyên dương (không nhất thiết phải khác nhau)?
Lời giải: Ta có nhận xét rằng các ước của $15^9$ đều có dạng: $3^{p}.5^{q}(p,q\in \mathbb{N})$.
Không mất tính tổng quát, giả sử: $15^9=A.B.C(A,B,C\in \mathbb{N}^{*})$.
Và giả sử rằng $(A;B;C)=(3^{a}.5^{x};3^{b}.5^{y};3^{c}.5^{z})(a,b,c,x,y,z\in \mathbb{N})$.
Khi đó: $15^9=3^{a+b+c}.5^{x+y+z}(1)$.
Mặt khác: $15^9=3^9.5^9(2)$.
Nên từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.
Tiếp theo ta đi xét bài toán: Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.
Và theo kết quả bài toán chia kẹo Euler ta có: Số bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn là: $C_{9+3-1}^{3-1}=C_{11}^{2}$ và số bộ $(x;y;z)$ thỏa mãn cũng là: $C_{11}^{2}$.
Vậy kết quả cần tìm là: $(C_{11}^{2})^2$
- Hr MiSu yêu thích
#3
Đã gửi 20-03-2019 - 08:59
Lời giải: Ta có nhận xét rằng các ước của $15^9$ đều có dạng: $3^{p}.5^{q}(p,q\in \mathbb{N})$.
Không mất tính tổng quát, giả sử: $15^9=A.B.C(A,B,C\in \mathbb{N}^{*})$.
Và giả sử rằng $(A;B;C)=(3^{a}.5^{x};3^{b}.5^{y};3^{c}.5^{z})(a,b,c,x,y,z\in \mathbb{N})$.
Khi đó: $15^9=3^{a+b+c}.5^{x+y+z}(1)$.
Mặt khác: $15^9=3^9.5^9(2)$.
Nên từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.
Tiếp theo ta đi xét bài toán: Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.
Và theo kết quả bài toán chia kẹo Euler ta có: Số bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn là: $C_{9+3-1}^{3-1}=C_{11}^{2}$ và số bộ $(x;y;z)$ thỏa mãn cũng là: $C_{11}^{2}$.
Vậy kết quả cần tìm là: $(C_{11}^{2})^2$
Do tính chất giao hoán trong phép nhân, mình nghĩ là 3 số nguyên dương này có vai trò như nhau, đơn cử một trường hợp:
Với $a=x=1$ ta sẽ có bộ $(3^{1}.5^{1};3^{8}.5^{8};3^{0}.5^{0})$
Với $c=z=1$ ta sẽ có bộ $(3^{0}.5^{0};3^{8}.5^{8};3^{1}.5^{1})$
Mà hai bộ này chỉ là một $\rightarrow$ do tính trùng lấp nên kết quả nhỏ hơn nhiều.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 20-03-2019 - 09:48
- tritanngo99 yêu thích
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
#4
Đã gửi 20-03-2019 - 16:52
Cảm ơn bạn, mình có thể giải quyết lại như sau: KMTTQ, giả sử $0\le a\le b\le c\le 9\implies 3a\le a+b+c=9\implies 0\le a\le 3$.Do tính chất giao hoán trong phép nhân, mình nghĩ là 3 số nguyên dương này có vai trò như nhau, đơn cử một trường hợp:
Với $a=x=1$ ta sẽ có bộ $(3^{1}.5^{1};3^{8}.5^{8};3^{0}.5^{0})$
Với $c=z=1$ ta sẽ có bộ $(3^{0}.5^{0};3^{8}.5^{8};3^{1}.5^{1})$
Mà hai bộ này chỉ là một $\rightarrow$ do tính trùng lấp nên kết quả nhỏ hơn nhiều.
TH1: Với $a=0\implies b+c=9$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(0;9),(1;8),...(4;5)$. Ta có $5$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn.
TH2: Với $a=1\implies b+c=8$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(1;7),(2;6),...(4;4)$. Ta có $4$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn.(Loại cặp $(0,8)$ trùng trường hợp $1$).
TH3: Với $a=2\implies b+c=7$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(2;5),(3;4)$. Ta có $2$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn..
TH4: Với $a=3\implies b+c=6$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(3;3)$. Ta có $1$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn..
Vậy tóm lại ta có: 5+4+2+1=12 cặp $(a;b;c)$ thỏa mãn.
Tương tự ta có: $12$ cặp $(x;y;z)$ thỏa mãn.
Vậy nên đáp án là: $12^2=144$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 20-03-2019 - 17:11
- dottoantap yêu thích
#5
Đã gửi 21-03-2019 - 09:26
Cảm ơn bạn, mình có thể giải quyết lại như sau: KMTTQ, giả sử $0\le a\le b\le c\le 9\implies 3a\le a+b+c=9\implies 0\le a\le 3$.
TH1: Với $a=0\implies b+c=9$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(0;9),(1;8),...(4;5)$. Ta có $5$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn.
TH2: Với $a=1\implies b+c=8$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(1;7),(2;6),...(4;4)$. Ta có $4$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn.(Loại cặp $(0,8)$ trùng trường hợp $1$).
TH3: Với $a=2\implies b+c=7$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(2;5),(3;4)$. Ta có $2$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn..
TH4: Với $a=3\implies b+c=6$. Khi đó ta có các cặp sau: $(b;c)=(3;3)$. Ta có $1$ cặp $(b;c)$ thỏa mãn..
Vậy tóm lại ta có: 5+4+2+1=12 cặp $(a;b;c)$ thỏa mãn.
Tương tự ta có: $12$ cặp $(x;y;z)$ thỏa mãn.
Vậy nên đáp án là: $12^2=144$.
Mình ngưỡng mộ tính kiên trì của bạn đấy!.
Trở lại bài toán, ta có thí dụ:
Theo lời giải, chẳng hạn bạn chọn được $1$ bộ $(A;B;C)$ từ $\left (a;b;c \right )=(0;2;7)$ và $\left ( x;y;z \right )=\left ( 1;3;5 \right )$ nhưng thực ra ta tìm được đến $3!$ bộ $(A;B;C)$. Mình liệt kê ra nhé:
$\left ( 3^{0} 5^{1};3^{2} 5^{3};3^{7} 5^{5}\right );\left ( 3^{0} 5^{1};3^{2} 5^{5};3^{7} 5^{3}\right );$
$\left ( 3^{0} 5^{3};3^{2} 5^{1};3^{7} 5^{5}\right );\left ( 3^{0} 5^{3};3^{2} 5^{5};3^{7} 5^{1}\right );$
$\left ( 3^{0} 5^{5};3^{2} 5^{1};3^{7} 5^{3}\right );\left ( 3^{0} 5^{5};3^{2} 5^{3};3^{7} 5^{1}\right ).$
Như vậy, kết quả theo lời giải này sẽ bé hơn thực tế do mình đã đếm thiếu.
++++++++++++++++++++++++++++++
Theo mình, để giải bài này, nên chăng ta xét 3 trường hợp vì nhận thấy trong $\left ( C_{11}^{2} \right )^{2}$ bộ $(A;B;C)$ này gồm có các loại:
i/ $A=B=C$: có 1 bộ
ii/ Hai số giống nhau (A=B chẳng hạn): bị hoán vị $C_{3}^{1}$ lần và
iii/ $A\neq B\neq C$: bị hoán vị $3!$ lần.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 21-03-2019 - 10:24
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
#6
Đã gửi 25-03-2019 - 15:29
Lời giải: Ta có nhận xét rằng các ước của $15^9$ đều có dạng: $3^{p}.5^{q}(p,q\in \mathbb{N})$.
Không mất tính tổng quát, giả sử: $15^9=A.B.C(A,B,C\in \mathbb{N}^{*})$.
Và giả sử rằng $(A;B;C)=(3^{a}.5^{x};3^{b}.5^{y};3^{c}.5^{z})(a,b,c,x,y,z\in \mathbb{N})$.
Khi đó: $15^9=3^{a+b+c}.5^{x+y+z}(1)$.
Mặt khác: $15^9=3^9.5^9(2)$.
Nên từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.
Tiếp theo ta đi xét bài toán: Tìm các nghiệm nguyên không âm của phương trình: $a+b+c=9$ và $x+y+z=9$.
Và theo kết quả bài toán chia kẹo Euler ta có: Số bộ $(a;b;c)$ thỏa mãn là: $C_{9+3-1}^{3-1}=C_{11}^{2}$ và số bộ $(x;y;z)$ thỏa mãn cũng là: $C_{11}^{2}$.
Vậy kết quả cần tìm là: $(C_{11}^{2})^2$
Mình xin tiếp sức bạn nhé!
Nhận thấy $(C_{11}^{2})^2$ là số bộ $\left ( A,B,C \right )$ thỏa đề bài nhưng có thứ tự. Ta có các trường hợp:
i/ $A=B=C$: có $1$ bộ
ii/ Ít nhất có 2 phần tử bằng nhau: Giả sử $A=B$ thì $a=b \rightarrow 2a=9-c\rightarrow a=b=\overline{0,4}\rightarrow$ có $5$ cách chọn $a$. Tương tự có $5$ cách chọn $x$. Trong $5\times 5=25$ bộ này có $1$ bộ mà $A=B=C$ cho nên số bộ $\left ( A,B,C \right )$ có đúng 2 phần tử bằng nhau là $25-1=24$ và hơn nữa do có thứ tự, số bộ loại này là $24.C_{3}^{1}$.
Vậy số bộ 3 số nguyên dương thỏa yêu cầu đề bài là:
$\frac{(C_{11}^{2})^2-24.C_{3}^{1}-1}{3!}+25=492+25=517\text{ bộ}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dottoantap: 25-03-2019 - 15:35
- tritanngo99 yêu thích
++++++++++++++++++++++++++++
Everything is impossible until you do it.
“Ai không làm gì thì mới không bao giờ sai”. Cứ làm đi, đừng sợ sai, trừ khi cái sai đó là cái sai gây tai hoạ cho người khác.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh