Bài 1: Chứng minh rằng $n^{2}+8n+2017$ không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n
Bài 2: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$
Tính giá trị biểu thức: $P=\frac{a}{(b-c)^{2}}+\frac{b}{(c-a)^{2}}+\frac{c}{(a-b)^{2}}$
Bài 3: Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $x\geq 1; x+y\leq 4$
Tìm GTNN của $P=x^{2}+3xy+4y^{2}$
Bài 4: Chứng minh rằng trong 55 số bất kì được chọn từ tập số ${1,2,...,100}$ luôn tồn tại hai số có hiệu bằng 9
Em xin có cách giải khác cho bài 1 ạ =)
Bài 1:
Đặt $A=n^2+8n+2017$
+) Xét $n=0$ ta có :
$A=0^2+8.0+2017=2017$
Do đó $A$ không chia hết cho $9$ ( do $2017$ không chia hết cho $9$ )
+) Giả sử khi $n=k$ thì $A$ không chia hết cho 9
Hay $A=k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9 $(*)$
+) Cần chứng minh đpcm đúng khi $n=k+1$
Khi đó : $A=(k+1)^2+8(k+1)+2017$
$A=k^2+2k+1+8k+8+2017$
$A=(k^2+8k+2017)+(2k+1+8)$
$A=(k^2+8k+2017)+(2k+9)$
Theo $(*)$ ta có $k^2+8k+2017$ không chia hết cho 9
Điều đó kéo theo việc $(k^2+8k+2017)+(2k+9)$ cũng không chia hết cho 9
Hay $A$ không chia hết cho 9 với $n=k+1$
Vậy ta có đpcm
P/s: đây là phương pháp qui nạp toán học nha bạn