SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TIỀN GIANG
ĐỀ THI HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút.
Bài 1: (4,5đ)
1. Cho a ≥ 0, a ≠ 1. Rút gọn biểu thức sau
$S = \sqrt {6 - 4\sqrt 2 } .\sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{\left( {a + 3} \right)\sqrt a - 3a - 1}}:\left[ {\frac{{a - 1}}{{2\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - 1} \right] + 2019$
2. Với mỗi số thực x, ta định nghĩa phần nguyên của x, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Hãy tìm phần nguyên của
$B = \sqrt {{x^2} + \sqrt {4{x^2} + \sqrt {36{x^2} + 10x + 3} } } $ trong đó x là số nguyên dương.
3. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
xy\left( {x + y} \right) = 2\\
9xy\left( {3x - y} \right) + 6 = 26{x^3} - 2{y^3}
\end{array} \right.$
Bài 2: (2đ)
Một xe tải có chiều rộng là 2,4m và chiều cao là 2,5m muốn đi qua một cái cổng có hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới chân cổng là $2\sqrt 5 $ m (bỏ qua độ dày của cổng).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi parabol (P): y = ax2 (với a < 0) là hình chiếu biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Tìm a.
b) Hỏi xe tải có thể đi qua cổng được không? Tại sao?
Bài 3: (4đ)
1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy + yz + zx = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $P = \frac{{3x + 3y + 2z}}{{\sqrt {6\left( {{x^2} + 5} \right)} + \sqrt {6\left( {{y^2} + 5} \right)} + \sqrt {{z^2} + 5} }}$
2. Cho a và b là các số thực thỏa mãn các điều kiện 6a2 + 20a + 15 = 0, 15b2 + 20b + 6 = 0, ab ≠ 1. Tính giá trị biểu thức: $A = \frac{{{b^3}}}{{a{b^2} - 9{{\left( {ab + 1} \right)}^3}}}$
Bài 4: (3đ)
1. Tìm số tự nhiên n biết rằng khi bỏ đi ba chữ số tận cùng bên phải của nó thì được một số mới có giá trị bằng $\sqrt[3]{n}$.
2. Tìm năm số thực dương sao cho mỗi số bằng bình phương của tổng bốn số còn lại.
Bài 5: (3đ)
Cho tam giác ABC cân tại A có Â = 360. Tính tỉ số$\frac{{AB}}{{BC}}$ .
Bài 6: (3,5đ)
1. Cho DABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Chứng minh BC = 2R. sinA (Xét cả 3 trường hợp: tam giác vuông, tam giác nhọn, tam giác tù). Chú y: Nếu $\alpha $ và $\beta $ là hai góc bù nhau thì sin$\alpha $= sin$\beta $.
2. Cho hai đường tròn (O1;R1), (O2;R2) cắt nhau tại 2 điểm A và B. Một đường thẳng (d) bất kì qua A cắt 2 đường tròn (O1;R1), (O2;R2) lần lượt tại M, N. Tiếp tuyến tại M của (O1;R1) và tiếp tuyến tại N của (O2;R2) cắt nhau tại I. Tìm giá trị lớn nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN khi (d) quay quanh A.
