Chủ đề này có 1 trả lời

[traitimcamk7a]

Cho 3 số thực dương $x, y, z$ thỏa $4x^2+4y^2+z^2=\frac{1}{2}(2x+2y+z)^2$.

Tìm giá trị lớn nhất: $P=\frac{8x^3+8y^3+z^3}{(2x+2y+z)(4xy+2yz+2xz)}$

[phongmaths]

Đặt 2x=a,2y=b,z=c Ta có

Giả thiết tương đương với  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}$ (1)

BĐT cần CM : $P=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

Giả sử $$c\leq a, c\leq b \Rightarrow c< a+b$  

Từ (1) $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ca) \Leftrightarrow (a+b)^{2}-2c(a+b)+c^{2}=4ab \Leftrightarrow (a+b-c)^{2}=4ab \Leftrightarrow a+b-c=2\sqrt{ab} \Leftrightarrow c=a+b-2\sqrt{ab}$(2)

Xét $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=(a+b+c)(2ab+2bc+2ca-ab-bc-ca)=(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow P-1=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}-1 =\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{3abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$

Thay (2) vào ta được 

$P-1=\frac{3ab(a+b-2\sqrt{ab})}{(a+b+a+b-2\sqrt{ab})(ab+(a+b)(a+b-2\sqrt{ab})} =\frac{3ab(a+b-2\sqrt{ab})}{2(a+b-\sqrt{ab})(a+b-\sqrt{ab})^{2}}=\frac{3ab(a+b-2\sqrt{ab})}{2(a+b-\sqrt{ab})^{3}}$

Áp dụng BĐT Cô Si ta có

$ab(a+b-2\sqrt{ab})=\frac{ab(2a+2b-4\sqrt{ab})}{2}=\frac{\sqrt{ab}\sqrt{ab}(2a+2b-4\sqrt{ab})}{2}\leq \frac{(2\sqrt{ab}+2a+2b-4\sqrt{ab})^{3}}{2.27}=\frac{8(a+b-\sqrt{ab})^{3}}{54}=\frac{4(a+b-\sqrt{ab})^{3}}{27}$

$\Rightarrow P-1\leq \frac{3.4(a+b-\sqrt{ab})^{3}}{2.27(a+b-\sqrt{ab})^{3}} =\frac{2}{9}$

$\Rightarrow P\leq \frac{11}{9}$

Dấu = xãy ra khi a=4b=4c hoặc b=4c=4a hoặc c=4a=4b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 27-03-2019 - 23:39