Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

$\sum\limits_{cyc}\it{Sum}\it{(}\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\it{)}\geqq\it{0}$

b*w! inequality

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 30-03-2019 - 09:29

$\sum\limits_{cyc}\it{Sum}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$($tính cả trường hợp ngược dấu$)$ cũng có thể viết lại dưới dạng$:$

$$\sum\limits_{cyc}\it{Sum}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}= \it{Sum}_{\,\it{1}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$

với $\it{Sum}_{\,\it{1}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}\,\,\vee \,\,\it{Sum}_{\,\it{1}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\leqq \it{0}$ và $\it{a}\not\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}\,\,\vee \,\,\it{a}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$ tùy theo$.$

$\lceil$ https://diendantoanh...qq/#entry720798 $\rfloor$$,$

$\lceil$ https://h-a-i-d-a-n-...19/03/10/200927 $\rfloor$

$\it{12}\left [ \sum \it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)} \right ]= \it{4}\,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}+ \it{4}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{6}\it{(}\,\,\it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}- \it{a}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{c}- \it{b}\,\,\it{)}+ \it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}- \it{a}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\left [ \it{2}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{(}\,\,\it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}} \right ]\geqq \it{0}$ với $\it{c}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$.$$($Ngược lại với cách giải của Bernhard LeebIMO $\it{1983}$ đúng với $\it{c}\not\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$.$$)$$.$ Hiện tại mình chưa chính xác tìm ra cách để bài toán từ đúng với $\it{c}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$ sang đúng với $\it{c}\not\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$.$ Ngoài ra với $\it{c}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$ thì$:$ $\sum \it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}= \it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}+$ $\it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$.$ Dưới đây là một số ví dụ mở rộng về các bài toán dạng trên$($mọi người có thể đóng góp lời giải cho trường hợp ngược lại$)$$:$

$\lceil$ https://diendantoanh...nt/#entry720942 $\rfloor$

 

Chứng minh rằng với $ \it{a}+ \it{b}\geqq \it{0},\,\it{b}+ \it{c}\geqq \it{0},\,\it{c}+ \it{a}\geqq \it{0} $$,$ không thể tồn tại $ \it{k}= \it{constant} $$ : $

$$\sum\limits_{cyc}\,\it{a}^{\,\it{3}}- \sum\limits_{cyc}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\geqq \it{k}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}$$

Spoiler
Được tái bất đẳng thức lại từ bài$:$ $\lceil$ https://diendantoanh...e-1#entry710701 $\rfloor$
Bài mình đã đưa đúng với $\it{constant}= \it{0}$$,$ tuy nhiên do nhân đa thức $\it{Sum}_{\,\it{12}}$ có thiếu$,$ và dù vậy $\it{constant}= \it{0}$ vẫn là $\it{constant}$ duy nhất$!$ Trở lại với$:$ $\lceil$ https://diendantoanh...e-1#entry710701 $\rfloor$$,$ ta được$:$
$\sum\limits_{cyc}\,\it{a}^{\,\it{3}}- \sum\limits_{cyc}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}= \it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{c}\,\,\it{)}+ \it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\geqq \it{0}$$,$ $\it{a}= \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$\it{?}$  ;) $($xin gợi ý nhỏ là từ đó ta có thể giải bài bên trên $\it{k}= \it{constant}$ bằng hệ thức phía dưới$,$ mà hình như là nói luôn rồi$!$$)$
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 04-04-2019 - 16:43

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 31-03-2019 - 14:16

Ví dụ $\it{2}$$:$

Cho $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}\geqq \it{0}$$,$ chứng minh rằng$:$

$$\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{686}\,\it{y}^{\,\it{3}}+ \it{64}\,\it{z}^{\,\it{3}}+ \it{36}\,\it{xyz}\geqq \it{147}\,\it{y}^{\,\it{2}}\it{z}+ \it{237}\,\it{z}^{\,\it{2}}\it{y}$$

$\lceil$ Ji Chen $\rfloor$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi$:$ $\left \{ \it{x}= \it{5}\,\it{y},\,\it{y}= \it{y},\,\it{z}= \it{2}\,\it{y} \right \}\,\,\bigcup\,\,\left \{ \it{x}= \it{7}\,\it{y},\,\it{y}= \it{y},\,\it{z}= \it{0}\,\it{y} \right \}$$($ có$:$ $\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}= \it{0}$ $)$$.$ 

Đặt$:$ $\it{A}= \it{57}\,\it{z}- \it{28}\,\it{x}- \it{392}\,\it{y}$$,$ ta được $\it{2}$ cách viết sau$:$

$\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{686}\,\it{y}^{\,\it{3}}+ \it{64}\,\it{z}^{\,\it{3}}+ \it{36}\,\it{xyz}- \it{147}\,\it{y}^{\,\it{2}}\it{z}- \it{237}\,\it{z}^{\,\it{2}}\it{y}=$

$= \frac{-\,\it{A}\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{z}\it{(}\,\,\it{z}- \it{91}\,\it{y}+ \it{43}\,\it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{28}}=$

$= \frac{\it{64}\,\it{a}^{\,\it{3}}+ \it{3}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{1792}\,\it{x}+ \it{20585}\,\it{y}\,\,\it{)}+ \it{12}\,\it{a}\it{(}\,\,\it{12544}\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{297937}\,\it{xy}+ \it{1576036}\,\it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}+ \it{(}\,\,\it{x}+ \it{14}\,\it{y}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{1261}\,\it{x}+ \it{11669}\,\it{y}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{185193}}$

nên cũng có thể viết lại thành dạng tổng các đa thức không âm$:$

$\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{686}\,\it{y}^{\,\it{3}}+ \it{64}\,\it{z}^{\,\it{3}}+ \it{36}\,\it{xyz}- \it{147}\,\it{y}^{\,\it{2}}\it{z}- \it{237}\,\it{z}^{\,\it{2}}\it{y}=$

$\frac{\left [ \it{(}\,\,\it{x}+ \it{14}\,\it{y}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{36}\,\it{xyz}+ \it{(}\,\,\it{28}\,\it{x}+ \it{7}\,\it{z}+ \it{155}\,\it{y}\,\,\it{)}\it{z}^{\,\it{2}} \right ]\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{3}}\it{(}\,\,\it{x}- \it{91}\,\it{y}+ \it{43}\,\it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{28}\,\it{z}^{\,\it{2}}}$

Nhận xét$:$

Mình xin giới thiệu cách viết này$($cách viết chưa có tên$)$$,$ hiện tại mình không thể đảm bảo sẽ luôn có $\it{2}$ cách viết cho bất kì bài nào$($dù thực tế là có vô số$!$$)$$.$ Có thể nó sẽ được phát triển xa hơn$,$ bởi các bạn$,$ xây dựng các thuật toán SOS$($đã có rồi nhưng khác$)$$,$ chẳng hạn$!$  ;) Chúc may mắn$!$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#3 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 02-04-2019 - 19:36

Post$\it{\#}$$\it{1111}$

$\it{k}= \it{constant},\,\it{k}\,\in\,\left [ \frac{\it{1}}{\it{3}},\,\it{1} \right ]$$,$ và với mọi tam giác $\it{3}$ cạnh $\it{a},\,\it{b},\,\it{c}$$:$

$$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\geqq \it{k}\,.\,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}$$

Chứng minh được theo phương pháp trên$.$

Ví dụ $\it{3}$

$$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}- \sum\,\it{ab}\geqq \it{k}\,.\,\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}$$

với $\it{k}= \it{constant},\,\it{k}\,\in\,\it{[}\,\,-\,\it{3},\,\it{1}\,\,\it{]}$$.$

Không khó$!$ $\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}- \sum\,\it{ab}=$ $\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{X}^{\,\it{2}}=$ $-\,\it{3}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{Y}^{\,\it{2}}$$.$ Chẳng hạn $\it{k}= -\,\it{1}$$:$

$\it{2}\,\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}- \it{2}\,\sum\,\it{ab}=$ $\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{X}^{\,\it{2}}- \it{3}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{Y}^{\,\it{2}}$$.$ Ta hiểu$:$ $\it{k}= -\,\it{1}$ đúng$,$ thì mọi $\it{k}\,\in\,\it{[}\,\,-\,\it{\it{3}},\,-\,\it{\it{1}}\,\,\it{]}\,\,\vee \,\,\it{k}\,\in\,\it{[}\,\,-\,\it{\it{1}},\,\it{\it{1}}\,\,\it{]}$ đều có thể chứng minh như quá trình trên$,$ sau một số hữu hạn bước$,$ các đoạn chứa sẽ ngày càng $"$thắt lại$"$$($giống kĩ thuật tìm gần đúng nghiệm của phương trình áp dụng hệ quả hàm số liên tục$)$$.$

Và vậy nên có thể viết$:$ $\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}- \sum\,\it{ab}- \it{k}\,.\,\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}= \it{(}\,\,\it{3}+ \it{k}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{1}- \it{k}\,\,\it{)}\it{P}+ \it{Q}$$,$ với$:$ $\it{P},\,\it{Q}\geqq \it{0}$$,$ thật vậy$,$ vì theo trên$,$ và$:$

$$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}- \sum\,\it{ab}- \it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}= \it{(}\,\,\it{k}- \it{1}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{A}= \it{B}$$

$$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}- \sum\,\it{ab}+ \it{3}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}= \it{(}\,\,\it{k}+ \it{3}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{C}= \it{D}$$

Nhân lên ở $\it{2}$ vế$,$ suy ra$:$ $\it{(}\,\,\it{B}- \it{A}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{D}- \it{C}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$($đúng$)$ và có thể viết như cách nói trên$!$

Xây dựng được bất đẳng thức bậc cao$:$ Với mọi tam giác $\it{3}$ cạnh $\it{a},\,\it{b},\,\it{c}$$:$

$$\it{abc}+ \it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{a}\,\,\it{)}\geqq \frac{\it{8}}{\it{3}}\sqrt{\,\sqrt{\,\it{3}}\,\it{\Delta}^{\,\it{3}}}$$

$$\it{abc}- \it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{a}\,\,\it{)}\geqq \frac{\it{8}}{\it{3}}\sqrt{\,\sqrt{\,\it{3}}\,\it{\Delta}^{\,\it{3}}}$$

Sử dụng $\lceil$ phép thế Ravi $\rfloor$ và trên$:$

$$\it{(}\,\,\it{xyz}+ \it{x}^{\,\it{2}}\it{y}+ \it{y}^{\,\it{2}}\it{z}+ \it{z}^{\,\it{2}}\it{x}\,\,\it{)}^{\,\it{4}}\geqq \frac{\it{256}}{\it{27}}\it{(}\,\,\it{x}+ \it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{3}}\it{x}^{\,\it{3}}\it{y}^{\,\it{3}}\it{z}^{\,\it{3}}$$

$\lceil$ Liu Qian Bao$\ast$AoPS :oto: $\rfloor$

 

 


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#4 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 02-04-2019 - 19:47

Cáo lỗi ;)$:$ $\it{(}\,\,\it{B}- \it{A}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{D}- \it{C}\,\,\it{)}\leqq \it{0}$$($đã viết $\it{(}\,\,\it{B}- \it{A}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{D}- \it{C}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$)$$,$ $\it{A},\,\it{B},\,\it{C},\,\it{D}\geqq \it{0}$$.$

Xem thêm cách chứng minh cho $\it{2}$ bất đẳng thức tam giác trên$:$ $\lceil$ https://artofproblem...806846p12020151 $\rfloor$


20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#5 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 10-04-2019 - 21:08

Từ bất đẳng thức$:$$($$\it{a},\,\it{b}> \it{0}$$)$

$$\it{a}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{2}\,\it{a}+ \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{3}\,\it{b}\,\,\it{)}\geqq \it{0}\Leftrightarrow \frac{\it{1}}{\sqrt{\it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}}\geqq \frac{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{5}\,\it{ab}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{3}}}$$

Ta được$:$

$$\frac{\it{1}}{\sqrt{\it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}}- \frac{\it{1}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}\,\,\it{)}}= \frac{\frac{\it{1}}{\it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}- \frac{\it{1}}{\it{4}\it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}}{\frac{\it{1}}{\sqrt{\it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}}+ \frac{\it{1}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}\,\,\it{)}}}\leqq \frac{\frac{\it{1}}{\it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}}- \frac{\it{1}}{\it{4}\it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}}{\frac{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{b}^{\,\it{2}}+ \it{5}\,\it{ab}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{3}}}+ \frac{\it{1}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}\,\,\it{)}}}= \frac{\it{a}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}\,\,\it{)}}{\it{2}\it{(}\,\,\it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{ab}\,\,\it{)}}$$

Ví dụ $\it{2}$$:$ Bất đẳng thức sau$:$$($$\it{a},\,\it{b},\,\it{c}> \it{0}$$)$

$$\sum\limits_{cyc}\,\frac{\it{a}\left \{ \it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}} \right \}}{\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{2}\,\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{b}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}}\leqq \it{3}$$

Spoiler
Một vài bạn để ý thấy mình hoàn toàn có thể phá căn dễ dàng và thậm chí CANH đúng để xảy ra bất đẳng thức dưới mẫu$,$ và nguyên nhân đó là mình áp dụng cách phía trên$,$ có nghĩa mẫu càng yếu thì khả năng tạo bất đẳng thức đúng càng cao$!$ Có thể nói việc tìm đa thức trong các bài trên rất khó khăn$,$ chỉ có may mắn$.$ Vì thế mình mong một ai đủ hiểu biết có thể giúp mình giải được bài toán này$:$
$"$ Nếu như có được cách viết$:$
$$\it{Sum}= \it{k}\,\it{P}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{Q}$$
với $\it{k}= \it{constant},\,\it{P},\,\it{Q}\geqq \it{0}$ thì xem như mình đã có sẵn lưỡi dao trái$($$\it{k}\geqq \it{0}$$)$$,$ cũng như cái lưỡi dam lao$,$ mình mong tìm được lưỡi dao phải còn lại$($$\it{k}\leqq \it{0}$$)$$,$ chúng ta kết hợp được chúng$.$ $"$
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 10-04-2019 - 21:11

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#6 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 329 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 16-11-2019 - 18:43

Từ lời giải tuyệt đẹp của Bernhard Leeb, em đã tìm ra cách phân tích S*O*S dao lam cực đẹp, ngắn cho IMO 1983 như sau:

 

Giả sử $c=\max\left\{a,\,b,\,c\right\}$. Ta có:

$\Sigma_{cyc} a^2 b(a-b)= \frac{[3ab + b(c-b)+4a(c-a)](b-c)^2 + b(a+b-c)(b+c-2a)^2}{4} \geqq 0$

Chúng ta có $Q.E.D$

Bây giờ thì mọi người đã thấy vẻ đẹp của S*O*S dao lam rồi chứ! :icon6:  :icon6:  Em không cần bất cứ phần mềm nào, không bị cứng nhắc về cách biểu diễn. Tuy nhiên, phương pháp nào cũng có những ưu - nhược điểm của nó, ví dụ: S*O*S dao lam có nhược điểm là với các đa thức bậc cao rất khó xác định 2 hệ số để kết hợp được BĐT đúng! :(  Nhưng sao đi nữa thì cũng không thể phủ nhận vẻ đẹp của nó.  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 18-11-2019 - 19:11


#7 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1757 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trung học PT * NGT . *Bắp Nhà Chùa* ; Phú Yên.

Đã gửi 18-11-2019 - 13:47

  1.  @HaiDangel "TUI KHÔNG GIẢI ĐƯỢC CÁCH MỘT NHƯNG CHẮC CHẮN SẼ GIẢI ĐƯỢC CÁCH HAI !"
  1. $\lceil$ ĐÂY SẼ SỚM LÀ MỘT CÂU TRÍCH DẪN NỔI TIẾNG CHỨ ? $\rfloor$

20:46, 22/12/2019

 
 
In how many ways can a laser beam enter at vertex, bounce off n surfaces, then exit through the same vertex?

 


#8 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 329 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 08-12-2019 - 18:57

Như đã nói trong tin nhắn! Em đã tìm ra được cách Bernhard Leeb phân tích cho $\text{IMO 1983}$!

bBES3DD.png



#9 Nyatmax1

Nyatmax1

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 04-02-2020 - 20:11

Ví dụ $\it{2}$$:$

Cho $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}\geqq \it{0}$$,$ chứng minh rằng$:$

$$\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{686}\,\it{y}^{\,\it{3}}+ \it{64}\,\it{z}^{\,\it{3}}+ \it{36}\,\it{xyz}\geqq \it{147}\,\it{y}^{\,\it{2}}\it{z}+ \it{237}\,\it{z}^{\,\it{2}}\it{y}$$

$\lceil$ Ji Chen $\rfloor$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi$:$ $\left \{ \it{x}= \it{5}\,\it{y},\,\it{y}= \it{y},\,\it{z}= \it{2}\,\it{y} \right \}\,\,\bigcup\,\,\left \{ \it{x}= \it{7}\,\it{y},\,\it{y}= \it{y},\,\it{z}= \it{0}\,\it{y} \right \}$$($ có$:$ $\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}= \it{0}$ $)$$.$ 

Đặt$:$ $\it{A}= \it{57}\,\it{z}- \it{28}\,\it{x}- \it{392}\,\it{y}$$,$ ta được $\it{2}$ cách viết sau$:$

$\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{686}\,\it{y}^{\,\it{3}}+ \it{64}\,\it{z}^{\,\it{3}}+ \it{36}\,\it{xyz}- \it{147}\,\it{y}^{\,\it{2}}\it{z}- \it{237}\,\it{z}^{\,\it{2}}\it{y}=$

$= \frac{-\,\it{A}\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{z}\it{(}\,\,\it{z}- \it{91}\,\it{y}+ \it{43}\,\it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{28}}=$

$= \frac{\it{64}\,\it{a}^{\,\it{3}}+ \it{3}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{1792}\,\it{x}+ \it{20585}\,\it{y}\,\,\it{)}+ \it{12}\,\it{a}\it{(}\,\,\it{12544}\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{297937}\,\it{xy}+ \it{1576036}\,\it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}+ \it{(}\,\,\it{x}+ \it{14}\,\it{y}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{1261}\,\it{x}+ \it{11669}\,\it{y}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{185193}}$

nên cũng có thể viết lại thành dạng tổng các đa thức không âm$:$

$\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{686}\,\it{y}^{\,\it{3}}+ \it{64}\,\it{z}^{\,\it{3}}+ \it{36}\,\it{xyz}- \it{147}\,\it{y}^{\,\it{2}}\it{z}- \it{237}\,\it{z}^{\,\it{2}}\it{y}=$

$\frac{\left [ \it{(}\,\,\it{x}+ \it{14}\,\it{y}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{36}\,\it{xyz}+ \it{(}\,\,\it{28}\,\it{x}+ \it{7}\,\it{z}+ \it{155}\,\it{y}\,\,\it{)}\it{z}^{\,\it{2}} \right ]\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{3}}\it{(}\,\,\it{x}- \it{91}\,\it{y}+ \it{43}\,\it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{28}\,\it{z}^{\,\it{2}}}$

Nhận xét$:$

Mình xin giới thiệu cách viết này$($cách viết chưa có tên$)$$,$ hiện tại mình không thể đảm bảo sẽ luôn có $\it{2}$ cách viết cho bất kì bài nào$($dù thực tế là có vô số$!$$)$$.$ Có thể nó sẽ được phát triển xa hơn$,$ bởi các bạn$,$ xây dựng các thuật toán SOS$($đã có rồi nhưng khác$)$$,$ chẳng hạn$!$  ;) Chúc may mắn$!$

 

 

Chỗ phần $64a^3+6a^2(1792x+20585)+...+(x+14y)(1261x+11669y)^2$ khá giống cách:Giả sử $c=min{a;b;c}$,đặt $a=x+c;b=y+c => x=a-c;y=c-b(x,y\ge0)$.Có phải vậy không anh?



#10 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 329 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 19-04-2020 - 18:52

Ví dụ $\it{4}$$\it{:}$

Cho $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}\geqq \it{0}$$,\,$chứng minh rằng:

$$\it{x}^{3}-2\,\it{x}^{2}y-3\,\it{x}^{2}\it{z}+\it{x}\it{y}^{2}+\it{2\,xyz}+4\,{y}^{3}-3\,\it{y}^{2}z+\it{5\,y{z}^{2}}+\it{4\,{z}^{3}} \geqq 0$$

Ta có $\it{2}$ cách viết sau$\it{:}$

$\it{x}^{3}-2\,\it{x}^{2}y-3\,\it{x}^{2}\it{z}+\it{x}\it{y}^{2}+\it{2\,xyz}+4\,{y}^{3}-3\,\it{y}^{2}z+\it{5\,y{z}^{2}}+\it{4\,{z}^{3}}$

$=\it{{x}^{3}-2\,{x}^{2}y-3\,{x}^{2}z+x{y}^{2}+2\,xyz-4\,{y}^{3}+5\,{y}^{2}z +3\,y{z}^{2}+4\,{z}^{3}+2\,y \left( -z+2\,y \right) ^{2}}$

$=-{x}^{3}+2\,{x}^{2}y+3\,{x}^{2}z-x{y}^{2}-2\,xyz+4\,{y}^{3}-5\,{y}^{2} z-3\,y{z}^{2}-4\,{z}^{3}+2\, \left( x+z \right)  \left( x-y-2\,z \right) ^{2}$

Nên cũng có thể viết lại dưới dạng tổng $\it{2}$ bình phương không âm$\it{:}$

$\it{x}^{3}-2\,\it{x}^{2}y-3\,\it{x}^{2}\it{z}+\it{x}\it{y}^{2}+\it{2\,xyz}+4\,{y}^{3}-3\,\it{y}^{2}z+\it{5\,y{z}^{2}}+\it{4\,{z}^{3}}$

$= \it{y(2y - z)^2 + (z + x)(x - y - 2z)^2\geqq 0}$

 

$\lceil$ Phép gán $\ast$ Đạo hàm  ;)$\rfloor$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 20-04-2020 - 16:53


#11 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 329 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 21-04-2020 - 21:02

Ví dụ $\it{2}$$:$

Cho $\it{x},\,\it{y},\,\it{z}\geqq \it{0}$$,$ chứng minh rằng$:$

$$\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{686}\,\it{y}^{\,\it{3}}+ \it{64}\,\it{z}^{\,\it{3}}+ \it{36}\,\it{xyz}\geqq \it{147}\,\it{y}^{\,\it{2}}\it{x}+ \it{237}\,\it{z}^{\,\it{2}}\it{y}$$

$\lceil$ Ji Chen $\rfloor$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi$:$ $\left \{ \it{x}= \it{5}\,\it{y},\,\it{y}= \it{y},\,\it{z}= \it{2}\,\it{y} \right \}\,\,\bigcup\,\,\left \{ \it{x}= \it{7}\,\it{y},\,\it{y}= \it{y},\,\it{z}= \it{0}\,\it{y} \right \}$$($ có$:$ $\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}= \it{0}$ $)$$.$ 

Đặt$:$ $\it{A}= \it{57}\,\it{z}- \it{28}\,\it{x}- \it{392}\,\it{y}$$,$ ta được $\it{2}$ cách viết sau$:$

$\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{686}\,\it{y}^{\,\it{3}}+ \it{64}\,\it{z}^{\,\it{3}}+ \it{36}\,\it{xyz}- \it{147}\,\it{y}^{\,\it{2}}\it{z}- \it{237}\,\it{z}^{\,\it{2}}\it{y}=$

$= \frac{-\,\it{A}\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{z}\it{(}\,\,\it{z}- \it{91}\,\it{y}+ \it{43}\,\it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{28}}=$

$= \frac{\it{64}\,\it{a}^{\,\it{3}}+ \it{3}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{1792}\,\it{x}+ \it{20585}\,\it{y}\,\,\it{)}+ \it{12}\,\it{a}\it{(}\,\,\it{12544}\,\it{x}^{\,\it{2}}+ \it{297937}\,\it{xy}+ \it{1576036}\,\it{y}^{\,\it{2}}\,\,\it{)}+ \it{(}\,\,\it{x}+ \it{14}\,\it{y}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{1261}\,\it{x}+ \it{11669}\,\it{y}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{185193}}$

nên cũng có thể viết lại thành dạng tổng các đa thức không âm$:$

$\it{x}^{\,\it{3}}+ \it{686}\,\it{y}^{\,\it{3}}+ \it{64}\,\it{z}^{\,\it{3}}+ \it{36}\,\it{xyz}- \it{147}\,\it{y}^{\,\it{2}}\it{z}- \it{237}\,\it{z}^{\,\it{2}}\it{y}=$

$\frac{\left [ \it{(}\,\,\it{x}+ \it{14}\,\it{y}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{36}\,\it{xyz}+ \it{(}\,\,\it{28}\,\it{x}+ \it{7}\,\it{z}+ \it{155}\,\it{y}\,\,\it{)}\it{z}^{\,\it{2}} \right ]\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{z}^{\,\it{3}}\it{(}\,\,\it{x}- \it{91}\,\it{y}+ \it{43}\,\it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}}{\it{(}\,\,\it{x}- \it{7}\,\it{y}+ \it{z}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{28}\,\it{z}^{\,\it{2}}}$

Nhận xét$:$

Mình xin giới thiệu cách viết này$($cách viết chưa có tên$)$$,$ hiện tại mình không thể đảm bảo sẽ luôn có $\it{2}$ cách viết cho bất kì bài nào$($dù thực tế là có vô số$!$$)$$.$ Có thể nó sẽ được phát triển xa hơn$,$ bởi các bạn$,$ xây dựng các thuật toán SOS$($đã có rồi nhưng khác$)$$,$ chẳng hạn$!$  ;) Chúc may mắn$!$

Thực ra là anh đánh đề sai ở $\text{VP}$. Xem thêm về cách tìm $2$ đẳng thức tuyệt vời trên tại:

https://artofproblem...hens_inequality  :D  :like



#12 Batuocloc

Batuocloc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Đã gửi 21-06-2020 - 20:38

 

$\sum\limits_{cyc}\it{Sum}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$($tính cả trường hợp ngược dấu$)$ cũng có thể viết lại dưới dạng$:$

$$\sum\limits_{cyc}\it{Sum}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}= \it{Sum}_{\,\it{1}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$

với $\it{Sum}_{\,\it{1}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}\,\,\vee \,\,\it{Sum}_{\,\it{1}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\leqq \it{0}$ và $\it{a}\not\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}\,\,\vee \,\,\it{a}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$ tùy theo$.$

$\lceil$ https://diendantoanh...qq/#entry720798 $\rfloor$$,$

$\lceil$ https://h-a-i-d-a-n-...19/03/10/200927 $\rfloor$

$\it{12}\left [ \sum \it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)} \right ]= \it{4}\,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}+ \it{4}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{6}\it{(}\,\,\it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}- \it{a}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{c}- \it{b}\,\,\it{)}+ \it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}- \it{a}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\left [ \it{2}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{(}\,\,\it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}} \right ]\geqq \it{0}$ với $\it{c}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$.$$($Ngược lại với cách giải của Bernhard LeebIMO $\it{1983}$ đúng với $\it{c}\not\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$.$$)$$.$ Hiện tại mình chưa chính xác tìm ra cách để bài toán từ đúng với $\it{c}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$ sang đúng với $\it{c}\not\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$.$ Ngoài ra với $\it{c}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$ thì$:$ $\sum \it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}= \it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}+$ $\it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$.$ Dưới đây là một số ví dụ mở rộng về các bài toán dạng trên$($mọi người có thể đóng góp lời giải cho trường hợp ngược lại$)$$:$

$\lceil$ https://diendantoanh...nt/#entry720942 $\rfloor$

 

Được tái bất đẳng thức lại từ bài$:$ $\lceil$ https://diendantoanh...e-1#entry710701 $\rfloor$
Bài mình đã đưa đúng với $\it{constant}= \it{0}$$,$ tuy nhiên do nhân đa thức $\it{Sum}_{\,\it{12}}$ có thiếu$,$ và dù vậy $\it{constant}= \it{0}$ vẫn là $\it{constant}$ duy nhất$!$ Trở lại với$:$ $\lceil$ https://diendantoanh...e-1#entry710701 $\rfloor$$,$ ta được$:$
$\sum\limits_{cyc}\,\it{a}^{\,\it{3}}- \sum\limits_{cyc}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}= \it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{c}\,\,\it{)}+ \it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\geqq \it{0}$$,$ $\it{a}= \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$\it{?}$  ;) $($xin gợi ý nhỏ là từ đó ta có thể giải bài bên trên $\it{k}= \it{constant}$ bằng hệ thức phía dưới$,$ mà hình như là nói luôn rồi$!$$)$
Spoiler

 

làm sao để tách được ạ? (ở ví dụ đầu á anh )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Batuocloc: 21-06-2020 - 20:39


#13 Daniel18

Daniel18

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết

Đã gửi 21-06-2020 - 22:20


Sử dụng Ravi
Cần cm
$xy^3+yz^3+zx^3\geqq xyz(x+y+z)$
Có $(xy^3+yz^3+zx^3)(x+y+z)\geqq xyz(x+y+z)^2$ từ đó có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daniel18: 21-06-2020 - 22:25


#14 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 329 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 22-06-2020 - 06:23

Post$\it{\#}$$\it{1111}$

$\it{k}= \it{constant},\,\it{k}\,\in\,\left [ \frac{\it{1}}{\it{3}},\,\it{1} \right ]$$,$ và với mọi tam giác $\it{3}$ cạnh $\it{a},\,\it{b},\,\it{c}$$:$

$$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\geqq \it{k}\,.\,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}$$

Chứng minh được theo phương pháp trên$.$

Đây là một bài rất hay$,$ với $k=1$ ta có$:$

 

$$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}-\,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}$$

$$=\it{b(a + b - c)(a - c)^2 + a(b+c-a)(b-c)^2}$$

 

Với $k=\frac{1}{3}$ ta có$:$ $$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}-\frac{1}{3} \,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}$$

 

$$=\frac{(b + c - a)(2a - b + c)(b-c)^2}{3} + \frac{(a + b - c)(a + c)(a - c)^2}{3} + \frac{(a + b - c)(b + c - a)(a - b)^2}{3}$$

 

Ngoài ra $$\sum a^2 b(a-b) +kb(a+b-c)(a-c)(b-c)$$

 

$$=-b \left( a+b-c \right)  \left( a-c \right)  \left( b-c \right) \left( 1-k \right) +b \left( a+b-c \right)  \left( a-c \right) ^{2}+a \left( b+c-a \right)  \left( -c+b \right) ^{2}$$

 

$$=k \left\{ b \left( a+b-c \right)  \left( a-c \right) ^{2}+a \left( b+c- a \right)  \left( b-c \right) ^{2} \right\} + \left( 1-k \right) \left\{ {a}^{2}b \left( a-b \right) +{b}^{2}c \left( -c+b \right) +{c} ^{2}a \left( -a+c \right)  \right\}$$

 

Có nghĩa là$,$ bất đẳng thức anh đưa ra đúng với mọi $0 \leqq k \leqq 1$



#15 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 329 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 22-06-2020 - 09:29

Đây là một bài rất hay$,$ với $k=1$ ta có$:$

 

$$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}-\,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}$$

$$=\it{b(a + b - c)(a - c)^2 + a(b+c-a)(b-c)^2}$$

Lưu ý rằng từ đây và phân tích của Bernhard Leeb năm $1983$ ta có đẳng thức tuyệt với sau!

$$\sum a^2 b(a-b) ={\frac {bc \left( a+b-c \right) ^{2} \left( a-b \right) ^{2}+a \left( c+a-b \right)  \left\{ b \left( a+b-c \right)  \left( a-c \right) ^{2} +a \left( b+c-a \right)  \left( b-c \right) ^{2} \right\} }{a \left( c +a-b \right) +b \left( a+b-c \right) }}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 22-06-2020 - 09:31


#16 Batuocloc

Batuocloc

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Đã gửi 22-06-2020 - 12:07

Đây là một bài rất hay$,$ với $k=1$ ta có$:$

$$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}-\,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}$$
$$=\it{b(a + b - c)(a - c)^2 + a(b+c-a)(b-c)^2}$$

Với $k=\frac{1}{3}$ ta có$:$ $$\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}-\frac{1}{3} \,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}$$

$$=\frac{(b + c - a)(2a - b + c)(b-c)^2}{3} + \frac{(a + b - c)(a + c)(a - c)^2}{3} + \frac{(a + b - c)(b + c - a)(a - b)^2}{3}$$

Ngoài ra $$\sum a^2 b(a-b) +kb(a+b-c)(a-c)(b-c)$$

$$=-b \left( a+b-c \right) \left( a-c \right) \left( b-c \right) \left( 1-k \right) +b \left( a+b-c \right) \left( a-c \right) ^{2}+a \left( b+c-a \right) \left( -c+b \right) ^{2}$$

$$=k \left\{ b \left( a+b-c \right) \left( a-c \right) ^{2}+a \left( b+c- a \right) \left( b-c \right) ^{2} \right\} + \left( 1-k \right) \left\{ {a}^{2}b \left( a-b \right) +{b}^{2}c \left( -c+b \right) +{c} ^{2}a \left( -a+c \right) \right\}$$

Có nghĩa là$,$ bất đẳng thức anh đưa ra đúng với mọi $0 \leqq k \leqq 1$

Làm sao để phân tích nhân tử dc ạ

#17 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 329 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 22-06-2020 - 19:14

Làm sao để phân tích nhân tử dc ạ

Đây gọi là phương pháp SOS. Mình dùng cách tương tự anh Huyện.

 

Ví dụ với khi $k=1:$ $$f=\sum\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}-\,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)} \geqq0$$

 

Sinh ra $3$ đa thức bậc $2$ với $3$ biến $x,\, y,\, z:$ $$A_{{1}}=m_{{1}}{x}^{2}+m_{{4}}xy+m_{{5}}xz+m_{{2}}{y}^{2}+m_{{6}}yz+m_{{3}}{z}^{2}$$

 

$$A_{{2}}=m_{{7}}{x}^{2}+m_{{10}}xy+m_{{11}}xz+m_{{8}}{y}^{2}+m_{{12}}yz+m_{{9}}{z}^{2}$$

 

$$A_{{3}}=m_{{13}}{x}^{2}+m_{{16}}xy+m_{{17}}xz+m_{{14}}{y}^{2}+m_{{18}}yz+m_{{15}}{z}^{2}$$

 

Thay thế $x = a + b - c, y = b + c - a, z = c + a - b$ vào $A_1,\, A_2,\,A_3$ được $(A_1,A_2,A_3)\rightarrow(P_1,P_2,P_3)$

 

Đặt $$f_{sos} = P_1 (a-b)^2+P_2 (b-c)^2 +P_3 (c-a)^2$$

 

Đồng nhất hệ số $f=f_{sos}$ và chọn $m_i \geqq 0 \,\, (i=1..18)$ ta được$:$ 

 

p7H3v7v.png

Thay vào $f_{sos}$ ta được$:$ $$\it{b(a + b - c)(a - c)^2 + a(b+c-a)(b-c)^2}$$

 

Từ đó dẫn đến phân tích của bài toán.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: b*w!, inequality

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh