$\sum\limits_{cyc}\it{Sum}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$($tính cả trường hợp ngược dấu$)$ cũng có thể viết lại dưới dạng$:$
$$\sum\limits_{cyc}\it{Sum}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}= \it{Sum}_{\,\it{1}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$
với $\it{Sum}_{\,\it{1}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}\,\,\vee \,\,\it{Sum}_{\,\it{1}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\leqq \it{0}$ và $\it{a}\not\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}\,\,\vee \,\,\it{a}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$ tùy theo$.$
$\lceil$ https://diendantoanh...qq/#entry720798 $\rfloor$$,$
$\lceil$ https://h-a-i-d-a-n-...19/03/10/200927 $\rfloor$
$\it{12}\left [ \sum \it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)} \right ]= \it{4}\,\it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}+ \it{4}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}+ \it{6}\it{(}\,\,\it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}- \it{a}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{c}- \it{b}\,\,\it{)}+ \it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}- \it{a}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\left [ \it{2}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}^{\,\it{2}}+ \it{(}\,\,\it{b}- \it{c}\,\,\it{)}^{\,\it{2}} \right ]\geqq \it{0}$ với $\it{c}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$.$$($Ngược lại với cách giải của Bernhard Leeb ở IMO $\it{1983}$ đúng với $\it{c}\not\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$.$$)$$.$ Hiện tại mình chưa chính xác tìm ra cách để bài toán từ đúng với $\it{c}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$ sang đúng với $\it{c}\not\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$$.$ Ngoài ra với $\it{c}\equiv \text{mid}\{\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\}$ thì$:$ $\sum \it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}= \it{b}\it{(}\,\,\it{a}+ \it{b}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{c}- \it{b}\,\,\it{)}+$ $\it{Sum}_{\,\it{2}}\it{(}\,\,\it{a},\,\it{b},\,\it{c}\,\,\it{)}\geqq \it{0}$$.$ Dưới đây là một số ví dụ mở rộng về các bài toán dạng trên$($mọi người có thể đóng góp lời giải cho trường hợp ngược lại$)$$:$
$\lceil$ https://diendantoanh...nt/#entry720942 $\rfloor$
Chứng minh rằng với $ \it{a}+ \it{b}\geqq \it{0},\,\it{b}+ \it{c}\geqq \it{0},\,\it{c}+ \it{a}\geqq \it{0} $$,$ không thể tồn tại $ \it{k}= \it{constant} $$ : $
$$\sum\limits_{cyc}\,\it{a}^{\,\it{3}}- \sum\limits_{cyc}\,\it{a}^{\,\it{2}}\it{b}\geqq \it{k}\it{(}\,\,\it{a}- \it{b}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{a}- \it{c}\,\,\it{)}\it{(}\,\,\it{b}+ \it{c}\,\,\it{)}$$
Spoiler
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 04-04-2019 - 16:43