Chủ đề này có 2 trả lời

[datduong2002]

Cho ba số thực dương thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng $\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 18-04-2019 - 10:03

[thanhdatqv2003]

Cho ba số thực dương thỏa mãn x+y+z=xyz. Chứng minh rằng $\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq \frac{9}{4}$

Từ giả thiết  : $x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$  Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b ;\frac{1}{z}=c \Rightarrow ab+bc+ca=1$

 

Ta có : $\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}= {{\sqrt{\frac{4}{1+x^{2}}}}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^{2}}}={{\sqrt{\frac{4a^{2}}{1+a^{2}}}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{1+b^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{1+c^{2}}}={{\sqrt{\frac{2a.2a}{(a+b)(a+c)}}}}+\sqrt{\frac{2b.b}{(b+a)[2(b+c)]}}+\sqrt{\frac{2c.c}{(a+c)[2(c+b)])}}$

  Từ đó bạn dùng AM-GM , mình đã tách ra đó rồi, có từng cặp với nhau ...... ===> đpcm 

 

[datduong2002]

Từ giả thiết  : $x+y+z=xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$  Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b ;\frac{1}{z}=c \Rightarrow ab+bc+ca=1$

 

Ta có : $\frac{2}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}= {{\sqrt{\frac{4}{1+x^{2}}}}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^{2}}}={{\sqrt{\frac{4a^{2}}{1+a^{2}}}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{1+b^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{1+c^{2}}}={{\sqrt{\frac{2a.2a}{(a+b)(a+c)}}}}+\sqrt{\frac{2b.b}{(b+a)[2(b+c)]}}+\sqrt{\frac{2c.c}{(a+c)[2(c+b)])}}$

  Từ đó bạn dùng AM-GM , mình đã tách ra đó rồi, có từng cặp với nhau ...... ===> đpcm 

Cảm ơn bạn nhiều