Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R). CMR: tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi tam giác ABC là tam giác đều.
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R)
Bắt đầu bởi thptpbc, 03-04-2019 - 11:49
#1
Đã gửi 03-04-2019 - 11:49
#2
Đã gửi 04-04-2019 - 20:21
Giả sử tam giác ABC cân tại A (AB=AC)
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A xuống BC
Ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.AH=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow AH=\frac{b^2}{2R}\Rightarrow BC=2BH=2\sqrt{b^2-\frac{b^4}{4R^2}}$
$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{b^2.2.\sqrt{b^2-\frac{b^4}{4R^2}}}{4R}=\frac{b^3.\sqrt{4R^2-b^2}}{4R^2}$
Mà$\sqrt{b^6(4R^2-b^2)}=\sqrt{27.\frac{b^2}{3}.\frac{b^2}{3}.\frac{b^2}{3}.(4R^2-b^2)} \leq \sqrt{27.(\frac{b^2+4R^2-b^2}{4})^4}=3\sqrt{3}R^4$
$\Rightarrow S \leq \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi $b=\sqrt{3}R \Rightarrow \Delta ABC$ đều
- thptpbc yêu thích
“Life isn't about waiting for the storm to pass...It's about learning to dance in the rain.”
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh