Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\sum \frac{a+b}{c} \geq 2\sqrt{( \sum a)( \sum \frac{a}{bc})}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 03-04-2019 - 23:52

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng khi đó ta có:

$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})}$


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#2 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 12-07-2019 - 22:41

Ta có: Không mất tính tổng quát, giả sử c nằm giữa a và b

Áp dụng BĐT AM-GM ta có 

$2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})}=2\sqrt{\frac{(a+b+c)}{c}.c(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})}\leq \frac{(a+b+c)}{c}+c(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})=\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1+\frac{c^2}{ab}$

BĐT cần chứng minh là $\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1+\frac{c^2}{ab}\leq \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\Leftrightarrow 1+\frac{c^2}{ab}\leq \frac{c}{a}+\frac{c}{b}\Rightarrow (\frac{c}{a}-1)(\frac{c}{b}-1)\leq 0 \Leftrightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{ab}\leq 0$(BĐT đúng do c nằm giữa a và b )

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 13-07-2019 - 14:54


#3 Sugar

Sugar

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đã gửi 12-07-2019 - 23:09

$ \frac{(c-a)(c-b)}{ab}\leq 0$(BĐT đúng do $c=min\begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix}$ )

Xin lỗi vì chưa xem phần trên của bạn nhưng nếu $c=min\{a,b,c\}$ thì đoạn này hình như bị ngược dấu. Có thể ý bạn là $0<a\leq c\leq b$ chăng?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sugar: 12-07-2019 - 23:10


#4 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 13-07-2019 - 14:55

Mình viết nhanh nên nhầm một chút. Cảm ơn bạn 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh