Chủ đề này có 3 trả lời

[toanND]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng khi đó ta có:

$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})}$

[phongmaths]

Ta có: Không mất tính tổng quát, giả sử c nằm giữa a và b

Áp dụng BĐT AM-GM ta có 

$2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})}=2\sqrt{\frac{(a+b+c)}{c}.c(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})}\leq \frac{(a+b+c)}{c}+c(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})=\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1+\frac{c^2}{ab}$

BĐT cần chứng minh là $\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1+\frac{c^2}{ab}\leq \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\Leftrightarrow 1+\frac{c^2}{ab}\leq \frac{c}{a}+\frac{c}{b}\Rightarrow (\frac{c}{a}-1)(\frac{c}{b}-1)\leq 0 \Leftrightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{ab}\leq 0$(BĐT đúng do c nằm giữa a và b )

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 13-07-2019 - 14:54

[Sugar]

$ \frac{(c-a)(c-b)}{ab}\leq 0$(BĐT đúng do $c=min\begin{Bmatrix} a,b,c \end{Bmatrix}$ )

Xin lỗi vì chưa xem phần trên của bạn nhưng nếu $c=min\{a,b,c\}$ thì đoạn này hình như bị ngược dấu. Có thể ý bạn là $0<a\leq c\leq b$ chăng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sugar: 12-07-2019 - 23:10

[phongmaths]

Mình viết nhanh nên nhầm một chút. Cảm ơn bạn