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[traitimcamk7a]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{(a^2+bc)(b+c)}{a(b^2+c^2)}}+\sqrt{\frac{(b^2+ca)(c+a)}{b(c^2+a^2)}}+\sqrt{\frac{(c^2+ab)(a+b)}{c(a^2+b^2)}} \ge 3\sqrt{2}$

[phongmaths]

Ta có 

$\sqrt{\frac{(a^2+bc)(b+c)}{a(b^2+c^2)}}=\sqrt{\frac{(a^{2}+c^{2})b+(a^{2}+b^{2})c}{a(b^{2}+c^{2})}}\geq \sqrt{\frac{2\sqrt{bc(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}}{a(b^{2}+c^{2})}}$

CMTT $\sqrt{\frac{(b^2+ca)(c+a)}{b(c^2+a^2)}}\geq \sqrt{\frac{2\sqrt{(b^{2}+c^{2})(b^{2}+a^{2})ac}}{b(c^2+a^2)}}$

$\sqrt{\frac{(c^2+ab)(a+b)}{c(a^2+b^2)}}\geq \sqrt{\frac{2\sqrt{ab(c^{2}+a^{2})(c^{2}+b^{2})}}{c(a^2+b^2)}}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{(a^2+bc)(b+c)}{a(b^2+c^2)}}+\sqrt{\frac{(b^2+ca)(c+a)}{b(c^2+a^2)}}+\sqrt{\frac{(c^2+ab)(a+b)}{c(a^2+b^2)}}\geq \sqrt{\frac{2\sqrt{bc(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}}{a(b^{2}+c^{2})}}+ \sqrt{\frac{2\sqrt{(b^{2}+c^{2})(b^{2}+a^{2})ac}}{b(c^2+a^2)}}+\sqrt{\frac{2\sqrt{ab(c^{2}+a^{2})(c^{2}+b^{2})}}{c(a^2+b^2)}}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{2\sqrt{bc(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}}{a(b^{2}+c^{2})}}.\sqrt{\frac{2\sqrt{(b^{2}+c^{2})(b^{2}+a^{2})ac}}{b(c^2+a^2)}}.\sqrt{\frac{2\sqrt{ab(c^{2}+a^{2})(c^{2}+b^{2})}}{c(a^2+b^2)}}}=3\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c