Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm GTNN, GTLN

toán 9 đại số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Monkey Moon

Monkey Moon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Mysterious World
  • Sở thích:Học tập, đi du lịch, đọc sách, chơi thể thao, tận hưởng thời gian bên bạn bè, ...

Đã gửi 10-04-2019 - 21:02

Bài 1: Cho $a,b,c\geq 1$ và $ab+bc+ca=9$

             Tính GTNN và GTLN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Bài 2: Cho $a, b$ thỏa mãn $(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}=2$

Tìm GTNN của $P=a^{4}+b^{4}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}$

Bài 3: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$

Tính GTNN của $P=\frac{ab}{c^{2}(a+b)}+\frac{ac}{b^{2}(a+c)}+\frac{bc}{a^{2}(b+c)}$



#2 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 10-04-2019 - 23:53

Bài 1

Ta có $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca=9$

Dấu bằng xãy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Ta lại có $a,b,c\geq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow ab+1\geq a+b$

CMTT $\Rightarrow bc+1\geq b+c;ca+1\geq c+a$

$\Rightarrow ab+bc+ca+3\geq 2(a+b+c)\Rightarrow a+b+c\leq 6 \Rightarrow (a+b+c)^{2}\leq 36\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)\leq 36\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 18$

Dấu bằng xảy ra khi (a,b,c)=(1,1,4)



#3 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 11-04-2019 - 00:04

Bài 2

Ta có

$2=(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}\geq \frac{(2a-1+2b-1)^{2}}{2}=2(a+b-1)^{2} \Rightarrow (a+b-1)^{2}\leq 1 \Rightarrow a+b\leq 2$

$P=a^{4}+b^{4}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}=\frac{(a+b)^{4}}{8}+\frac{8}{(a+b)^{2}}+\frac{8}{(a+b)^{2}}+\frac{2001}{(a+b)^{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)^{4}}{8}.\frac{8}{(a+b)^{2}}.\frac{8}{(a+b)^{2}}}+\frac{2001}{4}=6+\frac{2001}{4}=\frac{2025}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1



#4 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 11-04-2019 - 00:11

Bài 3

Ta có : Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3$

$P=\frac{ab}{c^{2}(a+b)}+\frac{ac}{b^{2}(a+c)}+\frac{bc}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{c^{2}}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}\geq \frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1



#5 Monkey Moon

Monkey Moon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Mysterious World
  • Sở thích:Học tập, đi du lịch, đọc sách, chơi thể thao, tận hưởng thời gian bên bạn bè, ...

Đã gửi 11-04-2019 - 22:57

Bài 2

Ta có

$2=(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}\geq \frac{(2a-1+2b-1)^{2}}{2}=2(a+b-1)^{2} \Rightarrow (a+b-1)^{2}\leq 1 \Rightarrow a+b\leq 2$

$P=a^{4}+b^{4}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}=\frac{(a+b)^{4}}{8}+\frac{8}{(a+b)^{2}}+\frac{8}{(a+b)^{2}}+\frac{2001}{(a+b)^{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)^{4}}{8}.\frac{8}{(a+b)^{2}}.\frac{8}{(a+b)^{2}}}+\frac{2001}{4}=6+\frac{2001}{4}=\frac{2025}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

bạn ơi tại sao  $\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$



#6 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 11-04-2019 - 23:00

bạn ơi tại sao  $\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$

Do $2(a^{2}+b^{2})\geq (a+b)^{2}$. Cái này biến đổi tương đương hoặc áp dụng BĐT Bunhiacopxki là ra

Sau đó thay vào là được  $\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 11-04-2019 - 23:01


#7 Giabao3101

Giabao3101

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 21-04-2019 - 14:48

Bài 4: Cho hai số dương x, y tìm giá tri nhỏ nhất của A = (x+y)/2x







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh