Chủ đề này có 5 trả lời

[phongmaths]

Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc=1. CMR

$\frac{a+3}{(a+1)^{2}}+\frac{b+3}{(b+1)^{2}}+\frac{c+3}{(c+1)^{2}}\geq 3$

[Love is color primrose]

Ta có;$\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}=\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}+\frac{a+3}{4}-\frac{a+3}{4}\geq \sum \frac{a+3}{a+1}-\frac{a+3}{4}=\sum \frac{9-a^{2}}{4(a+1)}=\sum \frac{2}{a+1}+\frac{1-a^{2}}{1+a}=\sum\frac{2}{a+1}+1-a=sum \frac{2}{a+1}=\sum \frac{2}{a+1}+\frac{a+1}{2}-\frac{a+1}{2}\geq \sum 2-\frac{a+1}{2}=\sum 1+\frac{1-a}{2}\geq \sum 1=3$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Không chắc lắm đâu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love is color primrose: 14-04-2019 - 06:57

[thanhdatqv2003]

Vì a,b,c dương nên :$1-a\geq 0;1-b\geq 0;1-c\geq 0$

Ta có;$\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}=\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}+\frac{a+3}{4}-\frac{a+3}{4}\geq \sum \frac{a+3}{a+1}-\frac{a+3}{4}=\sum \frac{9-a^{2}}{4(a+1)}=\sum \frac{2}{a+1}+\frac{1-a^{2}}{1+a}=\sum\frac{2}{a+1}+1-a\geq \sum \frac{2}{a+1}=\sum \frac{2}{a+1}+\frac{a+1}{2}-\frac{a+1}{2}\geq \sum 2-\frac{a+1}{2}=\sum 1+\frac{1-a}{2}\geq \sum 1=3$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Không chắc lắm đâu

Sai ngay từ đoạn đầu bạn ơi : $1-a\geq 0;1-b\geq 0;1-c\geq 0$ Nếu là tổng thì có thể như vậy, còn tích thì không !@!     

[Love is color primrose]

Ừm m cũng vừa nhận ra 

Bạn có cm đc 

$\frac{2}{a+1}+\frac{2}{b+1}+\frac{2}{c+1}\geq 3$ không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love is color primrose: 14-04-2019 - 07:03

[DOTOANNANG]

$$\frac{a+ 3}{(\,a+ 1\,)^{\,2}}+ \frac{b+ 3}{(\,b+ 1\,)^{\,2}}+ \frac{c+ 3}{(\,c+ 1\,)^{\,2}}- 3\geqq 0$$

$(\,a+ 1\,)^{\,2}(\,b+ 1\,)^{\,2}(\,c+ 1\,)^{\,2}\,leftside=$

$= (\,3\,bc+ b+ c+ 3\,)$$(\,a- 1\,)^{\,2}+$ $(\,3\,ca+ c+ a+ 3\,)$$(\,b- 1\,)^{\,2}+$ $(\,3\,ab+ a+ b+ 3\,)$$(\,c- 1\,)^{\,2}+$ $(\,1- abc\,)$$(\,3\,abc+ 5\,ca+ 5\,ab+ 5\,bc+ 11\,a+ 11\,b+ 11\,c- 3\,)$$\geqq$ $0$

 

[DOTOANNANG]

Hoặc$:$ 

Đặt$:$ $f(\,a\,)= \frac{a+ 3}{(\,a+ 1\,)^{\,2}}\equiv f(\,e^{\,x}\,)\Rightarrow {f(\,e^{\,x}\,)}''= \frac{-\,5\,e^{\,x}+ 8\,e^{\,2\,x}+ e^{\,3\,x}}{(\,e^{\,x}+ 1\,)^{\,4}}> 0$ với$:$ $x> \log(\,\sqrt{21}- 4)$$.$

Bằng định lý Vasc$'$s RCF$($$x+ y+ z= 0$$)$$,$ ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức với$:$ $a= b= \sqrt{\frac{1}{c}}$$,$ suy ra$:$ $(\,a- 1\,)^{\,2}(\,2\,a^{\,3}+ 5\,a^{\,2}+ 2\,a+ 3\,)\geqq 0$$($ban đầu không mất tính tổng quát trong chứng minh$,$ giả sử$:$ $a= \max\{\,a,\,b,\,c\,\}$$)$$.$